Sphère
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.
Une sphère dans un espace euclidien
Une sphère dans un espace euclidien

Une sphère est une surface à 3 dimensions dont tous les points sont situés à une même distance d'un point appelé centre. La valeur de cette distance commune au centre est appelée le rayon de la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points situés à une même distance d'un point appelé...). Elle n'inclut donc pas les points situés à une distance inférieure au rayon, au contraire de la boule. Concrètement, on peut voir une sphère comme une coquille vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.) infiniment mince.

Une sphère approximative est appelée géosphère en référence à la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance croissante au Soleil, et la quatrième par taille et par masse croissantes. C'est la plus grande et la plus massive des...) dont la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent abusivement confondu avec sa...) n'est pas une sphère parfaite. Ce terme est fréquemment utilisé en astrophysique (L’astrophysique (du grec astro = astre et physiqui = physique) est une branche interdisciplinaire de l'astronomie qui concerne principalement la...) et parfois en architecture (L’architecture peut se définir comme l’art de bâtir des édifices.).

Dans un espace euclidien (Un espace euclidien, dans la conception actuelle, est un espace vectoriel ou affine réel de dimension finie muni d'un produit scalaire. Dans un tel espace, on peut traiter...), il s'agit du ballon que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) le monde (Le mot monde peut désigner :) associe au terme de sphère. Dans un espace non-euclidien ou dans le cas de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) d'une distance non euclidienne, la forme peut être plus complexe.

Une sphère peut aussi être définie comme la surface formée par la rotation d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du...) autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) de son diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur de ce segment. Pour...). Si le cercle est remplacé par une ellipse, on obtient un sphéroïde (Un sphéroïde ou ellipsoïde de rotation est une surface quadrique en 3 dimensions obtenue par rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes principaux. Si l'ellipse tourne autour de son axe principal, la surface est appelée un...).

En géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle,...) cartésienne, une sphère de centre (x0, y0, z0) et de rayon r est l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) des points (x, y, z) tels que

\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2,

Les points de la sphère de rayon r et de centre l'origine du repère peuvent être paramétrés par

\left\{ \begin{matrix} x & = & r \cos\theta \; \cos\phi \\ y & = & r \cos\theta \; \sin\phi \\ z & = & r \sin\theta \end{matrix} \right. \qquad (\frac{-\pi}{2} \le\theta\le \frac{\pi}{2} \mbox{ et } -\pi \le \phi \le \pi)

On peut voir \theta\, comme la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre (ou sur une autre planète), au nord ou au sud de l'équateur.) et \phi\, comme la longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre (ou sur une autre planète).). (voir fonctions trigonométriques et coordonnées sphériques).

L'aire d'une sphère de rayon r est:

A=4 \pi r^{2} \,

Le volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) qu'elle renferme est :

V= \frac{4 \pi r^{3}}{3}

Sa compacité est de :

C= \frac{A}{V}= \frac {3}{r}

Le Moment d'inertie (L'inertie d'un corps découle de la nécessité d'exercer une force sur celui-ci pour modifier sa vitesse (vectorielle). Ainsi, un corps immobile ou en mouvement rectiligne uniforme (se déplaçant sur une droite à vitesse constante)...) d'une sphère homogène pleine de rayon R, de masse volumique (Pour toute substance homogène, le rapport de la masse m correspondant à un volume V de cette substance est indépendante de la quantité choisie : c'est une caractéristique du matériau appelée masse volumique: ) ρ, de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse...) M par rapport à un axe passant par son centre est:

I=\frac{2 M R^2}{5}=\frac{8 \pi \rho R^5}{15}

Le Moment d'inertie d'une sphère homogène vide de rayon R, de masse M par rapport à un axe passant par son centre est:

I=\frac{2 M R^2}{3}

L'élément d'aire de la sphère de rayon r\, dans les coordonnées latitude-longitude est d\sigma=r^2\cos\theta d\theta d\phi\,. On en déduit que l'aire d'un fuseau (portion limitée par deux demi-cercles joignant les pôles et faisant un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) \alpha\, exprimé en radians est 2\alpha r^2\,. Cela permet aussi de calculer l'aire d'une calotte sphérique (on dit aussi segment de sphère), c’est-à-dire d'une portion de sphère limitée par deux plans parallèles de distance h\, l'un pouvant être tangent à la sphère. On trouve 2\pi rh\, : l'aire est la même que celle d'un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée...) circulaire de même hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) tangent à la sphère (cylindre circonscrit). Ce résultat remarquable était connu d'Archimède, qui aurait demandé qu'il soit mentionné sur son tombeau.

Le cylindre circonscrit à une sphère donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction,...) a un volume égal à 3/2 fois le volume de la sphère.

La sphère a la plus petite aire parmi les surfaces renfermant un volume donné et renferme le volume le plus élevé parmi les surfaces d'une aire donnée. Pour cette raison, la sphère apparaît dans la nature, par exemple les bulles et gouttes d'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) (en l'absence de gravité) sont des sphères car la tension superficielle (La tension superficielle, ou énergie d'interface, ou énergie de surface, est la tension qui existe à la surface de séparation de deux milieux.) essaie de minimiser l'aire.

Page générée en 0.095 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique