Espace dual
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L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques résultats sur les liens entre espace dual et hyperplans, ce qui permet une compréhension " géométrique " de certaines propriétés des formes linéaires.

Le dual topologique est une variante très considérée en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et il...), lorsque l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article Vecteur.) est muni d'une structure additionnelle d'espace vectoriel topologique.

Définitions

Soient (K,+, x) un corps, E un K-espace vectoriel.

On appelle forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en...) sur E toute application linéaire (En mathématiques, une application linéaire (aussi appelée opérateur linéaire ou transformation linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels qui respecte l’addition des vecteurs...) de E vers K, c'est-à-dire toute application \phi : E \to \mathbb{K} \,\! telle que :

\forall (x,y) \in E^2 , \forall \lambda \in \mathbb{K}, \phi(\lambda x + y) = \lambda \phi(x) + \phi(y) \,\!

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) \ \mathcal{L}(E,\, \mathbb{K}) des formes linéaires sur E est un K-espace vectoriel, dit espace dual (L'espace dual d'un espace vectoriel E est l'ensemble des formes linéaires sur E. La structure d'un espace et celle de son dual sont très liées. La fin de cet article présente quelques...) de E ; il est noté E^*\,\!.

Si \phi \,\! est un élément de E^*\,\! et x \,\! un élément de E\,\!, on écrit parfois \langle\phi,x\rangle \,\! pour \phi(x) \,\!. Cette notation est dite crochet de dualité.

Exemples

Cas d'un espace préhilbertien.

Si l'espace vectoriel E est un espace préhilbertien, c'est-à-dire muni d'un produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux...), on a un moyen naturel de " plonger " E\,\! dans E^*\!, c'est-à-dire d'associer à chaque élément de E un élément du dual, et ce de manière à former un isomorphisme entre E\,\! et un sous-espace de E^*\! : à chaque élément x \,\! de E on associe la forme linéaire \phi_x : E \to \mathbb{K}, y \mapsto \langle x,y\rangle \,\!. Alors l'application f : E \to E^*, x \mapsto \phi_x \,\! est une application linéaire injective, donc l'espace E est isomorphe au sous-espace f(E) \,\! de E^*\,\!.

Dualité en dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa...) finie

Si l'espace E est de dimension finie n \,\!, alors l'espace dual E^*\,\!, isomorphe à E, est lui aussi de dimension n \,\!.

Obtention de ce résultat par construction de base " duale ":

Si \mathcal{B} = (e_i)_{i \in I} \,\! est une base, on peut définir les formes coordonnées : pour chaque i \in I \,\! la forme coordonnée e_i^* \,\! associe à chaque vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer...) de E sa i-ième coordonnée en base \mathcal{B} \,\!.

\forall x \in E \, \! on écrit x = \sum_{j \in I} x_j e_j \,\! et alors e_i^*(x) = x_i \,\!.

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...): \mathcal{B}^* = (e_i^*)_{i \in I} \,\! est une base de E* dite base duale de la base \mathcal{B} \,\!, et toute forme linéaire \phi \,\! sur E, s'écrit alors : \phi = \sum_{i \in I} \phi(e_i) e_i^* \,\!

Puisque \mathcal{B}^* \,\! est une base de E^*\,\!, on en déduit le résultat annoncé plus haut:

 
 \dim E = \dim E^* \,\!. 
 

En dimension finie, un espace a donc la même dimension que son espace dual. Remarquons qu'on ne peut pas affirmer dans le cas général qu'un espace vectoriel est isomorphe à son dual : ceci est faux pour certains espaces vectoriels de dimension infinie.

Exemple

Les polynômes de Lagrange associés à des scalaires x_0,x_1,\dots,x_n(voir Interpolation lagrangienne) forment une base de l'ensemble des polynômes dont la base duale est formée des fonctions d'évaluations \ \phi_i(P)=P(x_i).

Orthogonal

E est un espace vectoriel quelconque (on ne suppose pas de dimension finie).

Si A est un sous-espace de E\,, on définit l'orthogonal de A dans E^*\, par :

A^\circ=\{\phi \in E^*\colon \forall x \in A, \langle\phi,x\rangle=0\} \,

Si B est un sous-espace de E^*\,, on définit l'orthogonal de B dans E \, par :

B^\bot=\{x \in E\colon\forall \phi \in B, \langle\phi,x\rangle=0\} \,

Il ne faut pas confondre la notion d'orthogonal d'un sous-espace dans la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) de dualité avec l'orthogonalité dans la théorie des espaces euclidiens.

Représentation des sous-espaces

Ce paragraphe présente une application très importante de l'étude de l'espace dual : la représentation d'un sous-espace comme intersection d'hyperplans. On se restreint ici au cas d'un espace vectoriel de dimension finie.

Cadre : E est un K-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit F un sous-espace de dimension p (distinct de E) ; on a donc p < n.

Alors, il existe q = n - p formes linéaires indépendantes \phi_1, ..., \phi_q \, \! telles que :

F=\bigcap_{i=1}^q \ker \phi_i \, \! c'est-à-dire \forall x \in E, (x \in F \Leftrightarrow \phi_1(x)=0, ... , \phi_q(x)=0) \, \!

Ce théorème généralise les résultats élémentaires connus en dimension 2 ou 3 sur la représentation de droite ou de plan par des équations. En particulier, dans un espace vectoriel de dimension 3, l'intersection de 2 plans indépendants est une droite.

Nota : il ne faut pas confondre la notion de droite ou de plan dans un espace affine (Historiquement, la notion d’espace affine est issue du choc dû à la découverte de nouvelles géométries parfaitement cohérentes, mais différant de celle d'Euclide par l'axiome des parallèles. Elles remettaient...) (qui correspond à l'intuition géométrique) et celle, utilisée ici, de droite vectorielle ou de plan vectoriel. On appelle droite vectorielle un sous-espace de dimension 1, et plan vectoriel un sous-espace de dimension 2.

On peut donc représenter un sous-espace F de dimension p par q équations linéaires indépendantes, où q = \dim E- p \, \!.

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