Espace vectoriel topologique - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Définition - Espace quotient - Propriétés - Types d'espaces vectoriels topologiques - Voisinages de l'origine

Introduction

Les espaces vectoriels topologiques sont une des structures de base de l'analyse fonctionnelle. Ce sont des espaces munis d'une structure topologique associée à une structure d'espace vectoriel.

Les exemples les plus simples d'espaces vectoriels topologiques sont les espaces vectoriels normés, parmi lesquels figurent les espaces de Banach, en particulier les espaces de Hilbert.

Définition

Un espace vectoriel topologique ("e.v.t") E est un espace vectoriel sur un corps topologique K (généralement R ou C muni de leur topologie habituelle) muni d'une topologie compatible avec la structure d'espace vectoriel, c’est-à-dire vérifiant les conditions suivantes :

La somme de deux vecteurs est une application continue de E x E dans E,
Le produit d'un scalaire par un vecteur est une application continue de K x E dans E.

La catégorie des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K est notée TVS_K ou TVect_K où les objets sont les K-espaces vectoriels topologiques et les morphismes sont les applications K-linéaires continues.

Espace quotient

Soit F un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel topologique E, l'espace vectoriel quotient hérite d'une topologie quotient : soit φ la projection canonique de E sur E/F, par définition la topologie induite sur le quotient E/F est la plus fine qui rende φ continue. Les ouverts sont toutes les parties de E/F dont l'image réciproque par φ est ouverte.

Remarquons que φ est ainsi non seulement continue, mais ouverte, c'est-à-dire que l'image V par φ de tout ouvert U de E est un ouvert de E/F .

En effet, φ^-1(V) est un ouvert de E, comme réunion des ensembles U+x quand x parcourt F, qui sont ouverts (car images de l'ouvert U par des translations).

E/F devient ainsi un espace vectoriel topologique, c'est-à-dire que sa topologie quotient est compatible avec sa structure d'espace vectoriel quotient.

En effet, soit W un ouvert de E/F, montrons que l'ensemble $V=\overline +^{-1}(W)$ est un ouvert de E/FxE/F, où $\overline +$ désigne l'addition dans E/F (+ désignant celle dans E). D'après la remarque précédente (et par définition de la topologie produit), il suffit de vérifier que V=(φxφ)(U) pour un certain ouvert U de ExE. Le candidat tout désigné est l'ouvert $U=(\varphi\circ +)^{-1}(W)$ qui (par définition de la structure d'espace vectoriel quotient) est aussi égal à $(\overline+\circ(\varphi\times\varphi))^{-1}(W)=(\varphi\times\varphi)^{-1}(V)$ . Par surjectivité de φ on a donc bien (φxφ)(U)=V, ce qui conclut. Le raisonnement pour la multiplication externe est analogue.

La topologie de E/F est séparée si et seulement si F est fermé.

En effet, le "singleton-vecteur-nul" de E/F est fermé si et seulement si F est fermé dans E (par passage aux complémentaires et définition de la topologie quotient).

Propriétés

Un e.v.t. E est en particulier un groupe topologique (pour l'addition). On en déduit deux critères de séparation : E est séparé ssi le singleton réduit au vecteur nul 0 est fermé. Également, E est séparé ssi l'intersection des voisinages de 0 est réduite à {0}.
Toute translation (par un vecteur quelconque de E) est un homéomorphisme de E dans E :

la translation par x est continue, comme composée de l'addition par l'application qui à y associe (x,y), et sa réciproque est la translation par -x.

Toute homothétie de rapport non nul est aussi un homéomorphisme de E dans lui-même :

l'homothétie de rapport k est continue, comme composée de la loi externe par l'application qui à y associe (k,y), et sa réciproque est l'homothétie de rapport 1/k.