Groupe orthogonal
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Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps \mathbb K, muni d'une forme quadratique q. Un automorphisme orthogonal pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire f du \mathbb K-espace vectoriel E laissant invariant q. Autrement dit, pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un n-uplet peut constituer un exemple de...) x de E, on a : q(f(x)) = q(x).

L'identité est un automorphisme orthogonal. L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) des automorphismes orthogonaux est stable par composition et inversion. C'est donc un sous-groupe du groupe des automorphismes de E ; on l'appelle le groupe orthogonal (Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps , muni d'une forme quadratique q. Un automorphisme orthogonal pour cette forme quadratique est un automorphisme linéaire f du -espace vectoriel E laissant...) associé à la forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables. Par exemple, la distance comprise entre deux points dans un espace euclidien à trois dimensions s'obtient en...) q. Il est noté O(E,q).

Pour E={\mathbb K}^n, lorsque la forme quadratique q s'écrit : q(x) = \sum_{k=1}^n xk2, on appelle matrices orthogonales les matrices des automorphismes orthogonaux. Une matrice M est donc orthogonale si et seulement si tMM = In, où tM est la matrice transposée de M. Par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.), le groupe orthogonal de degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) n du corps \mathbb K est le groupe des matrices orthogonales n × n à coefficients dans \mathbb K, muni de la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) matricielle. Il est habituellement noté O(n,\mathbb K) ou O_n(\mathbb K). C'est un sous-groupe du groupe général linéaire (En mathématiques, le groupe général linéaire de degré n d’un corps E est le groupe des matrices n×n inversibles à coefficients dans E, muni de la...) GL(n,\mathbb K).

Toute matrice orthogonale (Une matrice carrée A (n lignes, n colonnes) à coefficients réels est dite orthogonale si elle vérifie :) a un déterminant égal à 1 ou -1. Les matrices orthogonales n × n de déterminant 1 forment un sous-groupe invariant de O(n,\mathbb K) appelé le groupe spécial orthogonal et noté SO(n,\mathbb K) ou SO_n(\mathbb K). Si la caractéristique de \mathbb K est 2, alors les groupes orthogonal et spécial orthogonal coïncident. Dans le cas contraire, l’indice de SO(n,\mathbb K) dans O(n,\mathbb K) est 2.

O(n,\mathbb K) et SO(n,\mathbb K) sont des groupes algébriques, car la condition que leurs matrices soient orthogonales, c’est-à-dire que leur transposée soit leur inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), peut s’exprimer comme un ensemble d’équations polynomiales dans les éléments de ces matrices.

Nombres réels

Sur le corps \R des nombres réels, O(n,\R) et SO(n,\R) sont généralement simplement notés O(n)\,\! et SO(n)\,\! quand aucune confusion n’est possible. Ils forment deux groupes de Lie compacts de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) {1\over 2}n(n-1). O(n)\,\! possède deux composantes connexes, SO(n)\,\! étant celle contenant la matrice identité (En algèbre linéaire, la matrice unité ou matrice identité (cette dernière dénomination étant un anglicisme) est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0...).

Géométriquement, O(n)\,\! est isomorphe au groupe des isométries de \R^n laissant invariant l’origine. SO(n)\,\! est isomorphe au groupe des isométries directes, ou rotations de \R^n laissant l’origine invariante.

SO(2)\,\! est isomorphe (en tant que groupe de Lie) au cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle....) S1, formé des nombres complexes de module 1, muni de la multiplication. Cet isomorphisme lie le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe e^{i\cdot \phi} = cos(\phi) + i\cdot sin(\phi) à la matrice orthogonale

\begin{bmatrix}\cos(\phi)&-\sin(\phi)\\ \sin(\phi)&\cos(\phi)\end{bmatrix}

Le groupe SO(3)\,\!, compris comme l’ensemble des rotations dans l’espace tridimensionnel, est appelé groupe des rotations.

En termes de topologie algébrique (La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des espaces topologiques. Plus exactement, elle...), pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n)\,\! est le groupe cyclique d’ordre 2 et le groupe Spin (Le spin est une propriété quantique intrinsèque associée à chaque particule, qui est caractéristique de la nature de la particule, au même titre que sa masse et sa charge électrique....) Spin(n) est son revêtement universel. Pour n=2, le groupe fondamental est le groupe cyclique infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en...) et son revêtement universel correspond à la droite des réels.

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n)\,\! et SO(n)\,\! est formée des matrices n×n antisymétriques. Elle est généralement notée \mathfrak o(n)\,\! ou \mathfrak{so}(n)\,\!.

Nombres complexes

Sur le corps \mathbb C des nombres complexes, O(n,\mathbb C) et SO(n,\mathbb C) (là aussi notés O(n)\,\! et SO(n)\,\! quand aucune confusion n’est possible) sont des groupes de Lie complexes de dimension {1\over 2}n(n-1) sur \mathbb C (le double sur \R). O(n)\,\! possède deux composantes connexes, SO(n)\,\! étant celle contenant la matrice identité. Pour n\ge 2, ces groupes ne sont pas compacts.

Pour n > 2, le groupe fondamental de SO(n)\,\! est le groupe cyclique d’ordre 2, tandis que le groupe fondamental de SO(2)\,\! est le groupe cyclique infini.

L’algèbre de Lie associée aux groupes de Lie O(n)\,\! et SO(n)\,\! est formée des matrices complexes n×n antisymétriques.

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