Intégrale de Lebesgue - Définition et Explications

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En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une fonction pas forcément définie sur \mathbb R.

Introduction

En mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...), l'intégration est souvent présentée comme le procédé permettant de calculer l'aire du domaine Sf sous la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les...) représentative d'une fonction f. Il s'agit de l'intégrale de Riemann (En analyse réelle, l'intégrale de Riemann est une façon simple de définir l'intégrale d'une fonction sur un intervalle. En termes géométriques, cette intégrale s'interprète comme l'aire du domaine sous la courbe représentative de la...).

Lebesgue a généralisé cette intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que...) à l'intérieur de ce qui est la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une...) de l'intégration de Lebesgue. Son approche présente l'avantage essentiel de faciliter la démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant sur un...) des théorèmes de passage à la limite. De tels théorèmes sont utiles, par exemple, dans l'étude des séries de Fourier et des transformées de Fourier. Ajoutons que cette théorie fournit une plus grande classe de fonctions intégrables.

Historique

Avant Henri Lebesgue, la théorie de l'intégration s'appuyait sur l'intégrale de Riemann, mais celle-ci était plutôt insatisfaisante pour diverses raisons : problème de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) efficace des intégrales dites impropres, difficulté à établir des théorèmes de convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :)...

En créant son intégrale, Lebesgue l'a lui-même comparée à l'intégrale de Riemann : " Imaginez que je doive payer une certaine somme ; je peux sortir les pièces de mon porte-monnaie comme elles viennent pour arriver à la somme indiquée, ou sortir toutes les pièces et les choisir selon leur valeur. La première méthode est l'intégrale de Riemann, la deuxième correspond à mon intégrale. " Pour expliquer cette phrase, on peut préciser que l'intégration de Riemann " parcourt " le segment et mesure la " hauteur " de la fonction au fur (Fur est une petite île danoise dans le Limfjord. Fur compte environ 900 hab. . L'île couvre une superficie de 22 km². Elle est située dans la...) et à mesure, tandis que l'intégrale de Lebesgue (En mathématiques dans la branche de l'analyse réelle, l'intégrale de Lebesgue est une intégrale représentative d'une théorie qui étend la notion d'intégrale représentant l'aire du domaine sous la courbe d'une fonction pas...) considère la " taille " des ensembles de niveau {f = y}.

Cette théorie s'est avérée particulièrement féconde. Elle a permis (via la théorie des tribus) de formaliser les probabilités, de définir de nombreux espaces fonctionnels extrêmement importants et a marqué le début de la théorie de la mesure.

La théorie de l'intégrale de Lebesgue reste tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) de même relativement complexe (inabordable avant la 3e année (Une année est une unité de temps exprimant la durée entre deux occurrences d'un évènement lié à la révolution de la Terre autour du Soleil.) de licence en France), mais, peut-être parce que Lebesgue était Français, elle est très populaire en France et quasiment tout étudiant de mathématiques finit par la rencontrer.

Construction formelle

Soit μ une mesure positive sur une σ-algèbre X au-dessus d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) E. (En analyse réelle, E désigne l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de généraliser de façon naturelle la...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) n, \mathbb R^n ou des sous-ensembles de celui-ci mesurables au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du ralentissement du...) de Lebesgue; X désigne la sigma-algèbre de tous les sous-ensembles de E mesurables au sens de Lebesgue, et μ la mesure de Lebesgue (La mesure de Lebesgue doit son nom au mathématicien français Henri Léon Lebesgue. Elle est d'une importance capitale en théorie de l'intégration.). En probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...) et en statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode statistique à un...), μ est une probabilité sur un espace probabilisable (Un espace probabilisable est un couple formé d'un ensemble Ω, d'une tribu ou σ-algèbre sur Ω.) E.) Nous construisons l'intégrale des fonctions à valeurs réelles définies sur E de la manière suivante :

Soit S une partie de X et soit f la fonction définie sur E qui vaut 0 en dehors de S et 1 sur S (i.e., f(x) = 1 si x est dans S, f(x) = 0 sinon.) Cette fonction est appelée fonction indicatrice ou fonction caractéristique de S et est notée 1S.

Pour donner une valeur à ∫1S conforme à la mesure donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction, d'un...) μ, on pose raisonnablement :

\int 1_S = \mu (S)

Nous étendons par linéarité à l'espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires.) engendré par les fonctions indicatrices :

\int \sum a_k 1_{S_k} = \sum a_k \mu( S_k)

où la somme est finie et les coefficients a k sont des nombres réels. Une telle combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire finie de fonctions indicatrices s'appelle une fonction étagée. Remarquons qu'une fonction étagée peut être écrite de plusieurs façons comme une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques, mais l'intégrale sera toujours la même.

Maintenant les difficultés commencent quand nous tentons de passer (Le genre Passer a été créé par le zoologiste français Mathurin Jacques Brisson (1723-1806) en 1760.) à la limite pour pouvoir intégrer des fonctions plus générales. Quelles sont les limites de fonctions étagées et peut-on définir leur intégrale ? Le procédé suivant fonctionne et contourne le problème.

Soit f une fonction positive définie sur E (nous lui permettons d'atteindre la valeur + ∞, en d'autres termes, f prend des valeurs dans la droite réelle achevée.) Nous définissons ∫f comme étant la borne supérieure de ∫ss varie dans l'ensemble de toutes les fonctions étagées qui sont inférieures à f (c'est-à-dire que pour tout x, s(x) ≤ f(x).) Cette définition est analogue à celle des sommes inférieures de Riemann. Cependant, nous ne construirons pas de somme supérieure, et ce fait est important pour obtenir une classe plus générale de fonctions intégrables. Pour être plus explicite, on peut mentionner la mesure et le domaine d'intégration:

\int_E f\,\mathrm d\mu = \sup_{s~\mathrm{\acute{e}tag\acute{e}e},\; s \le f} \int_E s\,\mathrm d\mu

Vous pouvez vous demander si cette définition a un sens (est-ce que les fonctions étagées gardent la même intégrale ?) Vous pouvez aussi vous demander si ceci correspond dans tous les cas à la même notion d'intégrale de Riemann. Il n'est pas du tout difficile de prouver que la réponse aux deux questions est oui.

Nous avons défini ∫f pour toute fonction positive définie sur E; cependant pour certaines fonctions, ∫ f sera infinie. De plus, les propriétés attendues d'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la réunion de quantités ou l'adjonction de grandeurs extensives de même...) et de limite des intégrales ne sont pas satisfaites, à moins que nous n'exigions que toutes nos fonctions soient mesurables, i.e. que la pré-image (ou image réciproque) de tout intervalle soit dans X. Nous ferons dorénavant cette hypothèse.

Pour traiter les fonctions signées, nous avons besoin (Les besoins se situent au niveau de l'interaction entre l'individu et l'environnement. Il est souvent fait un classement des besoins humains en trois grandes catégories : les besoins primaires, les...) de définitions supplémentaires. Si f est une fonction mesurable (Soient E et F des espaces mesurables munis respectivement d'une tribu et .) sur l'ensemble E à valeurs réelles (ou ± ∞), alors nous pouvons écrire f = g - hg(x) = (f(x) si f(x)>0, 0 sinon) et h(x) = (-f(x) si f(x) <0, 0 sinon). Remarquons que les deux fonctions g et h sont positives. Aussi remarquons que |f| = g + h. Si ∫|f| est finie, alors f est dite intégrable au sens de Lebesgue ou sommable. Dans ce cas, les deux intégrales ∫g et ∫h sont finies, et cela a un sens de définir ∫f par ∫g - ∫h.

Les fonctions à valeurs complexes peuvent être intégrées de la même manière, en considérant la partie réelle et la partie imaginaire séparément.

Théorèmes

Toute notion d'intégrale doit raisonnablement être linéaire et monotone, et l'intégrale de Lebesgue possède ces propriétés: si f et g sont des fonctions intégrables et a et b sont des nombres réels, alors af + bg est intégrable et ∫(af + bg) = af +bg; si fg, alors ∫f ≤ ∫g.

Deux fonctions qui diffèrent seulement sur un ensemble de mesure μ nulle ont la même intégrale, ou plus précisément: si μ({x : f(x) ≠ g(x)}) = 0, alors f est intégrable si et seulement si g est intégrable, et dans ce cas ∫ f = ∫ g.

L'un des avantages les plus importants que l'intégrale de Lebesgue procure par rapport à l'intégrale de Riemann est la facilité avec laquelle nous pouvons passer à la limite. Nous allons donner ici trois des théorèmes les plus utilisés:

Le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) de convergence monotone déclare que si (f k) est une suite de fonctions mesurables positives telles que pour tout k, fk(x) ≤ fk+1(x) et si f = lim fk, alors la suite de terme général ∫fk converge vers ∫f (remarque: ∫f peut être infinie ici).

Le lemme de Fatou déclare que si (f k) est une suite de fonctions mesurables positives et si f = liminf fk, alors ∫f ≤ liminf ∫fk (à nouveau, ∫f peut être infinie).

Le théorème de convergence dominée déclare que si (f k) est une suite de fonctions mesurables de limite ponctuelle f, et s'il existe une fonction intégrable g telle que pour tout k, |f k| ≤ g, alors f est intégrable et la suite de terme général ∫fk converge vers ∫f.

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