Espace localement compact
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En topologie, un espace localement compact est un espace qui, à défaut d'être compact, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats sur les espaces compacts. Ce sont aussi les espaces qu'on peut " rendre " compacts avec un point (Graphie) grâce à la compactification d'Alexandroff.

Motivations

La compacité est une source très fertile de résultats en topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) mais elle reste une propriété très contraignante. En particulier, le fait qu'un espace métrique (En mathématiques, un espace métrique est un ensemble au sein duquel une notion de distance entre les éléments de l'ensemble est définie. C'est un cas particulier d'espace topologique.) doit être borné pour être compact fait que les résultats concernant les espaces compacts ne sont presque jamais applicables aux espaces métriques rencontrés, qui sont très rarement bornés.

Cependant on peut appliquer ces résultats à certains espaces métriques (et notamment les espaces vectoriels normés) non bornés à condition que l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une étiquette...) étudié respecte certaines propriétés supplémentaires, qui permettent d'y appliquer les outils développés pour les espaces compacts.

Par exemple, toute suite de points d'un compact admet une valeur d'adhérence ; le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes. Un théorème est à distinguer...) de Bolzano-Weierstrass dit qu'une suite de points de \R \,\! (ou plus généralement de \R^n \,\!) qui est bornée admet une valeur d'adhérence. Or ni \R \,\! ni \R^n \,\! ne sont compacts, mais en ajoutant " bornée " on peut conclure quelque chose, car \R \,\! et \R^n \,\! sont localement compacts. Il n'est pas vrai en général qu'une suite bornée d'un espace métrique a une valeur d'adhérence. Il suffit de regarder les suites bornées à valeurs dans \mathbb{Q}.

Autre exemple, peut-être plus parlant : un théorème connu dit que si une fonction est une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X...) continue d'un espace compact (En topologie de la droite réelle, la propriété de Borel-Lebesgue est une propriété topologique remarquable des segments, basée sur la notion de recouvrement. Elle...) vers un autre, alors sa réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) est aussi continue (et donc c'est un homéomorphisme). C'est faux en général pour un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et...) mais dans le cas de \R \,\! on a le théorème de la bijection : " si une fonction est une bijection continue d'un intervalle de \R \,\! vers un autre intervalle, alors sa réciproque est aussi continue ", que l'intervalle soit compact ou non.

Le fait que ces deux résultats typiques de la compacité s'adaptent partiellement dans le cas d'espaces non compacts tient justement à la notion de compacité locale.

Espaces localement compacts

Définitions

Un espace topologique X \,\! est dit localement compact si et seulement s’il est séparé et tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point de X \,\! admet un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui...) compact. Autrement dit, en notant \mathcal{T} \,\! l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut...) des ouverts de X \,\! :

\forall x \in X, \ \exists K \subset X, \exists U \in \mathcal{T} \ t.q. \ \left\{ x \right\} \subset U \subset K  \,\! avec K \,\! compact.

Cette définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) implique immédiatement la caractérisation suivante (parfois prise comme définition) : un espace topologique X \,\! est localement compact si et seulement si tout point de X \,\! admet une base de voisinages compacts.

On note que dans ces définitions le mot " compact " peut être remplacé par exemple par " connexe " ou " connexe par arcs " pour obtenir d'autres notions ; c'est le procédé de définition des espaces " localement truc ". Voir Espace localement connexe (Soit un espace topologique. On dit que est localement connexe si tout voisinage de tout point de contient un voisinage connexe de (pour la topologie induite par la topologie de ).), Espace localement connexe par arcs.

Propriétés

La première propriété des espaces localement compacts, la plus évidente, est que si un espace X \,\! est compact alors il est localement compact. On verra avec les exemples que la réciproque est fausse ; la compacité locale est donc une notion strictement plus faible que la compacité (c'est-à-dire moins restrictive).

Comme la plupart des propriétés topologiques, la compacité locale est conservée par homéomorphisme : si f \ : \ X_1 \rightarrow X_2 \,\! est un homéomorphisme (En topologie, un homéomorphisme est un isomorphisme entre deux espaces topologiques : c'est une bijection continue de l'un dans l'autre, dont la réciproque est continue. Dans ce cas, les deux espaces...) entre deux espaces topologiques et si X_1 \,\! est localement compact, alors X_2 \,\! l'est aussi.

Un sous-espace Y \,\! d'un espace localement compact (En topologie, un espace localement compact est un espace qui, à défaut d'être compact, admet des voisinages compacts pour tous ses points. On peut y généraliser (au moins partiellement) beaucoup de résultats...) X \,\! est lui-même localement compact si et seulement s’il peut s'écrire comme la différence de deux fermés de X \,\! : Y = F_1 \backslash F_2 \,\!.

En particulier tous les ouverts et les fermés d'un espace localement compact X\,\! sont localement compacts :

  • Si F \,\! est fermé, on écrit F = F \backslash \varnothing \,\!
  • Si U\,\! est un ouvert, on écrit U = X \backslash \left( X \backslash U \right) \,\!, où X \,\! et X \backslash U\,\! sont fermés.

Un espace localement compact est un espace de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon équivalente,...), c'est-à-dire que la conclusion du théorème de Baire (Un espace topologique est dit de Baire (du nom du mathématicien René Baire) si toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. De façon...) s'y applique : une union dénombrable de parties nulle part denses (c'est-à-dire dont l'intérieur de l'adhérence est vide) est d'intérieur vide (Le vide est ordinairement défini comme l'absence de matière dans une zone spatiale.).

Exemples

L'ensemble des nombres réels \R \,\!, l'ensemble des nombres complexes \mathbb{C} \,\!, ou les espaces produit \R^n \,\! et \mathbb{C}^n \,\! sont les premiers exemples d'espace localement compacts ; d'après un théorème cité (La cité (latin civitas) est un mot désignant, dans l’Antiquité avant la création des États, un groupe d’hommes sédentarisés libres (pouvant avoir des...) plus haut tous leurs ouverts ou leurs fermés le sont aussi. En particulier l'intervalle ]0,1[ \,\! ou le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) ouvert D = \left\{ \ z \in \mathbb{C} \ | \ |z|<1 \ \right\}\,\! du plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) sont des exemples typiques d'espaces localement compacts mais pas compacts. Des espaces comme l'ensemble de Cantor (L'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor) est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor.) ou le cube de Hilbert (En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit muni de la topologie produit. D'après le théorème de Tychonoff, c'est un espace compact.) sont bien entendu localement compacts, puisqu'ils sont même compacts.

En revanche, l'ensemble des nombres rationnels \mathbb{Q} \,\!, ou les espaces vectoriels de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur,...) infinie rencontrés en analyse fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en...) ne sont pas localement compacts. Un autre contre-exemple (En mathématiques, un contre-exemple est un exemple, un cas particulier ou un résultat général, qui contredit les premières impressions. Un contre-exemple peut aussi être donné pour rejeter une conjecture,...), plus " ludique ", est formé par le " demi-plan ouvert plus un point " : H = \left\{ (0,0) \right\} \cup \left\{ (x,y) \in \R^2 \ | \ x>0 \right\} \,\! c'est-à-dire les points du plan d'abscisse strictement positive plus l'origine. Dans ce cas c'est justement l'origine qui pose problème, car elle n'a aucun voisinage compact.

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