Histoire du calcul infinitésimal
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L'histoire du calcul infinitésimal est liée à deux mathématiciens : Isaac Newton et Gottfried Wilhelm von Leibniz.

Contexte

Au XVIIe siècle, deux problèmes passionnent les mathématiciens : celui de la tangente et celui des quadratures. Le premier consiste à retrouver, à partir d’une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments,...) quelconque, les différentes tangentes à la courbe. Le deuxième réside dans le calcul de l'aire engendrée par une courbe. Nombreux sont ceux qui s’intéressent à ces problèmes et en donnent diverses solutions : Descartes, Wallis, et d’autres. Cependant, deux scientifiques, Isaac Newton (Sir Isaac Newton était un philosophe, mathématicien, physicien et astronome anglais né le 4 janvier 1643 du calendrier grégorien[1] au manoir de Woolsthorpe près de Grantham et mort le 31 mars 1727[1] à...) et Leibniz, vont chacun de leur côté faire des recherches et mettre au jour (Le jour ou la journée est l'intervalle qui sépare le lever du coucher du Soleil ; c'est la période entre deux nuits, pendant laquelle les rayons du Soleil éclairent le ciel. Son début (par...) une solution générale et simple à ces problèmes. Ce faisant, ils introduiront dans le monde (Le mot monde peut désigner :) des mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) un nouveau concept qui est aujourd’hui la base de l’analyse : le calcul infinitésimal (Le calcul infinitésimal (ou calcul différentiel et intégral) est une branche des mathématiques, développée à partir de l'algèbre et de la géométrie, qui implique...).

Isaac (ISAAC est un algorithme capable de générer des nombres pseudo-aléatoires, tombé dans le domaine public en 1996. Son auteur, Bob Jenkins, l'a conçu de manière à ce qu'il soit assez sûr pour être utilisé en...) Newton

Grand mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme recouvre une large palette de compétences et...) et physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces qui les relient. Le mot...) anglais du XVIIe siècle, Newton est considéré comme l’un des fondateurs du calcul infinitésimal. S’inspirant de Descartes et Wallis dont il avait lu les écrits, il se pose en effet le problème des tangentes qu’il relie rapidement à celui de la quadrature. Cependant, il écrit assez peu sur ce sujet (seulement trois écrits) et sera publié très tard par peur des critiques. Dès 1669, Newton, s’inspirant de Wallis et Barrow, relie le problème de la quadrature à celui des tangentes : la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression...) est la procédure inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est...) de l'intégration. Il s’intéresse aux variations infinitésimales des quantités mathématiques et l’aire engendrée par ces mouvements. Sa méthode la plus célèbre reste celle des fluxions. Très influencé par son travail de physicien, il considère les quantités mathématiques comme engendrées " par une augmentation continuelle " et les compare à l’espace engendré par les " corps en mouvement ". Dans le même esprit, il introduit le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) en tant que variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme....) universelle et définit les fluxions et les fluentes. Les fluentes (x, y, z, …) sont des quantités " augmentées graduellement et indéfiniment ", et les fluxions (\dot x ,\dot y ,\dot z ) " les vitesses dont les fluentes sont augmentées ". Il se pose le problème " Étant donné les relations entre les quantités fluentes, retrouver la relation entre leurs fluxions. ".

Voici par exemple la solution qu’il donne pour y = xn :

Soit o, un intervalle de temps infiniment petit. \dot x o et \dot y o seront les accroissements infiniment petits de x et y.
y= x^n \,
En remplaçant x et y par x+\dot x o et y+\dot y o
y+ \dot y o = (x+\dot x o)^n
Puis en développant par la formule du binôme ( en mathématique, binôme, une expression algébrique ; voir aussi binôme de Newton et coefficient binomial un binôme est un groupe de deux personnes, voir Équipe en binôme en sciences naturelles,...) qu’il a démontrée :
y+\dot y o = x^n + nox^{n-1} \dot x + \frac{n(n-1)}{2}o^2 \dot x^2 x^{n-2} + \ldots
Ensuite, il retranche y= x^n\, et divise par o.
\dot y = nx^{n-1}\dot x + \frac{n(n-1)}{2}o^2 \dot x^2 x^{n-2} + \ldots
Enfin, il néglige tous les termes contenant o, et obtient :
\dot y = nx^{n-1}\dot x , qui rappelle la formule bien connue (x^n)' = nx^{n-1} \,

L’intuition est bien là, mais Newton manque de conviction. Il voudrait se débarrasser des quantités infinitésimales qu’il n’arrive pas à baser sur des principes rigoureux. Dans sa méthode " des premières et dernières raisons ", il se contentera des rapports entre fluxions, ce qui lui permettra d’éviter de " négliger " des termes, laissant o " s’évanouir " dans le rapport. Il se rapproche alors de notre notion actuelle de limite, comparant cela à l’idée de " vitesse instantanée " d’un corps. Non pas celle qu’il a avant d’arriver, ni celle qu’il a après, mais celle qu’il a au moment où il arrive. Dans Principia, il exprime ainsi sa pensée : " Les rapports ultimes dans lesquels les quantités disparaissent ne sont pas réellement des rapport de quantités ultimes, mais les limites vers lesquels les rapport de quantités, décroissant sans limite, s’en approchent toujours : et vers lesquels ils peuvent s’en approcher aussi près que l’on veut. " Il est incroyable de voir à quel point (Graphie) cette conception se rapproche de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) même de la limite utilisée aujourd’hui : f(x) tend vers a si étant donné ε donné positif quelconque, il existe α tel que : |x-a|<α => |f(x)-f(a)|<ε. Cependant, Newton ne généralise pas cette définition et sa notion de limite reste réservée aux rapports de fluxions, à ce qui se rapproche de notre calcul de dérivées. Et même ainsi, il se trouve dans l’incapacité de fonder son calcul différentiel sur des bases rigoureuses. La notion de valeur infinitésimale est encore trop nouvelle et se trouve vivement critiquée, n’étant pour certains qu’un " fantôme de quantités disparues ".

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Alors que Newton hésitait à publier ses découvertes, un autre mathématicien : Wilheilm Leibniz s’intéressait à ce même problème et fit des découvertes semblables. Son approche est cependant très différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une application définie à l'aide de la trace, dans l'anneau des entiers...). En effet, Leibniz est au départ un philosophe et ne découvre les mathématiques qu’en 1672 lorsqu’il rencontre Christian Huygens lors d’un voyage (Un voyage est un déplacement effectué vers un point plus ou moins éloigné dans un but personnel (tourisme) ou professionnel (affaires). Le voyage s'est considérablement développé et démocratisé, au cours du XXe siècle avec...) à Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de...). Il s’inspire alors des œuvres de Descartes, Pascal, Wallis et d’autres. Très vite, il fait le lien entre le problème des tangentes et celui de la quadrature en remarquant que le problème de la tangente dépend du rapport des " différences " des ordonnées et des abscisses et celui de la quadrature, de la " somme " des ordonnées. Lors de son travail sur les combinatoires, il observe en effet ceci :

1, 4, 9, 16 étant la suite des carrés
1, 3, 5, 7 la suite des différences des carrés :
1+3+5+7=16

Son travail en philosophie le pousse (Pousse est le nom donné à une course automobile illégale à la Réunion.) à considérer les différences infiniment petites et il tire bientôt la conclusion : ∫dy = y , ∫ étant une somme de valeurs infiniment petites et dy une différence infinitésimale.

En effet, Leibniz émet à la même époque l’hypothèse philosophique de l’existence de composants infiniment petits de l’univers. Tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) ce que nous percevons n’étant que la somme de ces éléments. Le rapport avec ces recherches mathématiques est direct. Il explique parfois aussi ces éléments infinitésimaux en faisant une analogie avec la géométrie : le dx est au x, ce que le point est à la droite. Ce qui le pousse dans l’hypothèse de l’impossibilité de comparer des valeurs différentielles à de " vraies " valeurs. Tout comme Newton, il privilégiera les comparaisons entre rapport. La notation claire et pratique qu’il met en place (celle que nous utilisons aujourd’hui) permet des calculs rapides et simples. S’intéressant au rapport dy/dx, il l’identifie au coefficient (En mathématiques un coefficient est un facteur multiplicatif qui dépend d'un certain objet, comme une variable (par exemple, les coefficients d'un polynôme), un espace vectoriel, une fonction de base et ainsi de suite....) directeur de la tangente, se justifiant par l’étude du triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de « triangle » est justifiée par...) formé par une portion infiniment petite de la tangente et deux portions infiniment petites des parallèles à l’axe des abscisses et à celui des ordonnées. Ainsi, il exprime par exemple le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de y=x² :

\mathrm dy = (x +\mathrm dx)^2 - x^2 = 2x\mathrm dx + (dx)^2\,
\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x + \mathrm dx

Et enfin, en négligeant dx :

\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} = 2x.

Il résout aussi les problèmes d(x + y), d(x.y), d(x/y), d(x?) dans l’optique de créer une véritable algèbre (L'algèbre, mot d'origine arabe al-jabr (الجبر), est la branche des mathématiques qui étudie, d'une façon générale, les structures algébriques.) des infiniment petits. Mais il subit de nombreuses critiques, semblables à celle que l’on fit à Newton : Pour quelle raison néglige-t-on les infinitésimaux dans le résultat final ? Et si ils sont égaux à 0, comment peut-on faire leur rapport ? Lui-même a du mal à baser sa théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée...) sur des concepts solides et a tendance à considérer les valeurs infinitésimales comme des outils, au même titre que les nombres imaginaires, qui " n’existeraient " pas vraiment. Mais même ainsi, ses détracteurs restent nombreux.

Au XIXe siècle

Ce n’est qu’au XIXe siècle que le concept de limite sera véritablement explicité. Et c’est seulement ainsi que le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) pourra vraiment se développer. Car, en effet, ce ne sont pas sur des rapports que travaillent Newton et Leibniz, mais bien sur des limites de rapport, et c’est ce concept qui est la base de tout le reste. C’est à cette époque que le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel comme nous le connaissons est véritablement introduit chez les mathématiciens. Autant chez Newton que chez Leibniz, c’est cette conception qui manque et qui les empêche de fonder la limite sur des bases rigoureuses. Le nombre comme ils le conçoivent est encore très inspiré de la vision d’Euclide. Et sans la caractérisation de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de...) et du caractère intrinsèquement infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en...) des réels, le concept de limite ne peut voir le jour.

C’est ce qui fait que leurs détracteurs, au nombre desquels George Berkeley, seront très nombreux. On accusera aussi Leibniz d’avoir copié l’œuvre de Newton. S’ensuivront de nombreuses disputes et des attaques personnelles entre les deux hommes. Nous pouvons cependant constater que leurs approches sont très différentes et c’est cette différence qui apporte toute sa richesse et toute son inventivité à ce nouveau concept. C’est aussi ces deux visions des choses, dans leurs points communs et dans leurs dissemblances, qui peuvent nous permettre, encore aujourd’hui, de mieux comprendre ce concept de valeur infinitésimale. En effet, c’est son rapport avec la physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique...), la philosophie ou la géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et, depuis le XVIIIe siècle, les figures d'autres types d'espaces...), qu’eux même ont dû faire pour le conceptualiser, qui nous donne la possibilité de le saisir dans son ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...).

Malgré les critiques, les méthodes simples et claires mises au point par Newton et Leibniz, en particulier le nouveau formalisme introduit par Leibniz, permettent de résoudre les problèmes des tangentes et de la quadrature, qui préoccupaient beaucoup les mathématiciens de l’époque. Et c’est pourquoi elles se sont petit à petit fait accepter jusqu’à leur fondation sur des bases solides au XIXe siècle. Nous devons encore beaucoup, nous-même, à ces concepts, et nous utilisons encore d’ailleurs le formalisme de Leibniz de façon courante et même celui de Newton en physique. Et c’est pourquoi, encore aujourd’hui, Newton et Leibniz, au-delà de leurs querelles, sont considérés comme les fondateurs du calcul infinitésimal.

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