Suite (mathématiques élémentaires)
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et raisonnement) est dans une...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une...)

Intuitivement une suite réelle est une règle qui associe à chaque entier naturel n un certain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel ; on dit alors que ce nombre réel est indexé par l’entier. En fait une suite est un moyen d’indexer des nombres réels par des entiers naturels, et ce de manière ordonnée.

Une suite réelle est une application de l’ensemble des entiers naturels \mathbb N ou d'une partie A de \mathbb N à valeurs dans \mathbb R.
Soit u :A\rightarrow\mathbb R une suite réelle. Nous notons un, l’image u(n) de n par u et nous appelons un le terme d’indice n de la suite, c'est-à-dire le n-ième terme si l'indexation commence à 1. Nous notons l’application u : (u_n)_{n\in A} ou plus simplement (un).

Lorsque A=\mathbb N, la suite u a pour ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout »,...) d'indice l'ensemble des entiers naturels \mathbb N, nous obtenons la suite :

( u0, u1, …, un, …)

Les derniers trois petits points consécutifs signifient qu’il y a une infinité de termes après.

Si A={1,2,…, n} alors nous obtenons la suite finie, de n termes :

( u1, u2, …, un)

Remarquons que la notation (un) correspond à une application alors que la notation un désigne un nombre réel.

Dans la pratique, les suites sont souvent indexées sur \mathbb N.

Donnons quelques exemples de suites :

  • (0)_{n\in\mathbb N} est la suite nulle.
  • (n)_{n\in\mathbb N} est la suite de tous les entiers naturels.
  • (2\,n)_{n\in\mathbb N} est la suite de tous les entiers naturels pairs.
  • (n^2)_{n\in\mathbb N} est la suite des carrés des entiers naturels.
  • ((-1)^n)_{n\in\mathbb N} est la suite (1, -1, 1, -1, ..., 1, -1, …).

Les suites les plus étudiées en mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée à ce...) sont les suites arithmétiques, les suites géométriques et les suite arithmético-géométriques

Variations d’une suite

Soit u=(u_n)_{n\in \mathbb N} une suite réelle, donnons les définitions suivantes :

Croissance

La suite u est dite croissante si pour tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) entier naturel n, u_n \le u_{n+1}

On a donc, u_0 \le u_1 \le \ldots \le u_n \le u_{n+1} La suite u est dite strictement croissante si pour tout entier naturel n, un < un + 1

Décroissance

La suite u est dite décroissante si pour tout entier naturel n, u_n \ge u_{n+1}

On a donc, u_{n+1} \le u_n \le \ldots \le u_1 < u_0 La suite u est dite strictement décroissante si pour tout entier naturel n, un > un + 1

Monotonie

La suite u est monotone si elle est croissante ou décroissante. De même, la suite u est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Suite stationnaire

Une suite u est dite stationnaire s’il existe un rang ( Mathématiques En algèbre linéaire, le rang d'une famille de vecteurs est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par cette famille. Le théorème du rang lie le rang et la dimension...) n0 à partir duquel tous les termes de la suite sont égaux, c'est-à-dire un entier naturel n0 tel que pour tout entier naturel n supérieur à n0, u_n={u_n}_0 On a donc, u_{n_0}=u_{{n_0}+1}=\ldots=u_n=\ldots

Exemples

  • Si pour tout entier naturel n, un= 2n+1
La suite u est croissante.
  • Si pour tout entier naturel n non nul, v_n=\frac{1}{n}
La suite v est décroissante.
u et v sont donc monotones (et même strictement).
  • En revanche, la suite w définie par : pour tout entier naturel n, wn = ( − 1)n + 1
n'est pas monotone en effet w0 = − 1, w1 = 1, w2 = − 1.
Elle n'est ni croissante, ni décroissante.
  • Étudier les variations d’une suite c’est déterminer si elle est croissante ou décroissante.

Donnons quelques règles pratiques permettant d’étudier les variations d’une suite

  • on étudie pour tout entier naturel n, le signe de u_{n+1}-u_n\,
  • lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs et qu’ils sont sous forme d’un produit, on peut étudier pour tout entier naturel n, le rapport \frac{u_{n+1}}{u_n} et on le compare à 1
  • si le terme général un et de la forme f(n) où f est une fonction définie sur [0, +\infty[ et si f est croissante (resp. décroissante) alors u est croissante (resp. décroissante).

Majorant minorant

  • Suite majorée

Une suite u est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, u_n \le M. Le réel M est appelé un majorant de la suite. Dès lors qu'une suite est majorée, il existe une infinité de majorants (tous les réels supérieurs à un majorant quelconque).

  • Suite minorée

Une suite u est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, u_n \ge m. Le réel m est appelé un minorant de la suite.Dès lors qu'une suite est minorée, il existe une infinité de minorants (tous les réels inférieurs à un minorant quelconque).

  • Suite bornée

Une suite u est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Dans ce cas, il existe des réels M et m tels que pour tout entier naturel n, m \le u_n \le M.

Caractère borné

u est bornée si et seulement s'il existe un réel K tel que pour tout entier naturel n, |u_n| \le K (il suffit de prendre pour K la valeur absolue (Un nombre réel est constitué de deux parties: un signe + ou - et une valeur absolue.) de celui de M et m qui est le plus grand en valeur absolue : K = max( | M | , | m | )).

Conséquence :

Pour démontrer qu’une suite u est bornée, il suffit de monter que la suite (|un|) est majorée.

Exemples

  • La suite u définie par : pour tout entier naturel n, u_n=-3\,n+1 est majorée par 1 mais n’est pas minorée.
  • La suite v définie par : pour tout entier naturel n, vn = (n − 7)2 est minorée par 0 mais n’est pas majorée.
  • La suite w définie par : pour tout entier naturel non nul n, w_n=\frac{1}{n} est bornée (son plus grand terme est w1 = 1, c'est aussi le plus petit des majorants; elle n'a pas de plus petit terme car elle est strictement décroissante, mais le plus grand des minorants est 0, c'est aussi sa limite).

Propriétés

  • Une suite croissante u est minorée par son premier terme u0.
  • Une suite décroissante u est majorée par son premier terme u0.
  • Lorsque le terme général un d’une suite s’écrit sous la forme d’une somme de n termes, nous pouvons minorer la somme par n fois le plus petit terme de la somme et majorer par n fois le plus grand. Mais cela ne permet pas toujours d’obtenir un minorant ou un majorant de la suite.

Erreurs fréquentes

Questions

  1. La suite x définie par : pour tout entier naturel n, x_n=\frac{n^2}{n+1} admet-elle comme majorant n ?
  2. La suite y définie par : pour tout entier naturel n, y_n=(-1)^n\,.\,n est-elle majorée, minorée, bornée ?
  3. La suite z définie par : pour tout entier naturel n non nul, z_n=\frac{(-1)^n}{n} est-elle majorée, minorée, bornée ?

Réponses

  1. En effectuant le calcul suivant, on montre que tout terme de rang n est nécessairement plus petit que n: \frac{n^2}{n+1}-n=\frac{n^2-n\,(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{n+1}\le 0 ce qui pourrait amener à penser que " n pourrait être un majorant de la suite ". Il n'en est rien ! Un majorant, par définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions...), est un réel fixé pour une suite u donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction,...), donc une constante qui ne saurait dépendre de l'indice de sommation (sinon toute suite serait " majorée par un+1 "), or n n'est bien-sûr ici pas une constante. Cette suite n'est pas majorée et est croissante (on dit qu'elle diverge ou qu'elle admet une limite infinie). En revanche son premier terme x0 = 0 est plus petit que tous les autres, c'est un minorant de la suite.
  2. Il suffit de voir ce que sont les premiers termes pour comprendre le fonctionnement de cette suite : u_0=0,\,u_1=-1,\,u_2=2,\,u_3=-3,\,u_4=4,\,u_5=-5,\,\ldots. Cette suite est ce qu'on appelle une suite alternée : chaque terme est du signe contraire de celui qui le précède. Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à eux-même, et les termes de rang impair sont égaux à leur opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même niveau, l'un en face...). Cette suite n'est pas majorée car aussi grand que l'on choisisse un hypothétique majorant M, il suffira de prendre le premier entier pair n supérieur à M pour que un dépasse M. La situation (En géographie, la situation est un concept spatial permettant la localisation relative d'un espace par rapport à son environnement proche ou non. Il inscrit un lieu dans un...) est symétrique quant aux éventuels minorants. Donc xn n'est pas bornée.
  3. Ici, les termes de rang (d'indice) pair sont égaux à leur inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément y tel que x·y = y·x = 1, si 1 désigne...), et les termes de rang impair sont égaux à l'opposé de leur inverse. Cette suite est bornée et " atteint ses bornes ", c’est-à-dire que le plus petit des majorants et le plus grand des minorants (les bornes en analyse) sont des termes de la suite, ce qui n'était pas le cas avec la suite des inverses, quant à sa borne inférieure). z1 = − 1 et z_2=\frac{1}{2} sont respectivement des minorant et majorant de (zn), ce sont plus précisément aussi ses bornes.

Limite, convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :), divergence

Voir l'article Limite (mathématiques élémentaires).

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