Théorème de Cantor-Bernstein - Définition

Le théorème de Cantor-Bernstein, également appelé théorème de Cantor-Schröder-Bernstein, est un théorème de la théorie axiomatique des ensembles. Il est nommé en l'honneur des mathématiciens Georg Cantor, Felix Bernstein et Ernst Schröder. Cantor en donna une première démonstration, mais qui utilisait implicitement l'axiome du choix. Bernstein et Schröder en donnèrent des démonstrations qui ne dépendaient pas de cet axiome.

Énoncé

S'il existe une injection f d'un ensemble E vers un ensemble F, et une injection g de l'ensemble F vers l'ensemble E, alors il existe une bijection h de E sur F.

Démonstration n°1

Lemme préliminaire

Commençons par montrer que si u est une application injective d'un ensemble A vers un ensemble B avec , alors il existe une bijection v de A sur B.

Soit la suite définie par :

Soit C la réunion de tous les ensembles  :

Soit alors v l'application de A dans B défini par :

v est bien défini à valeurs dans B, car u est à valeur dans B, et si alors et donc .

Montrons que v est injective. Soient alors x et y deux éléments de A tel que v(x) = v(y)

• Supposons que et .

Alors (car C est stable par v) et . Or v(x) = v(y) ce qui est absurde.

• Supposons que et .

Alors v(x) = u(x) = v(y) = u(y). Comme u est injective x = y.

• Supposons que et .

Alors x = y = v(x) = v(y)

Dans tous les cas x = y, donc v est injective.

Montrons que v est surjective. Soit . Montrons qu'il existe un tel que v(x) = y.

• Si

alors il existe tel que . (i est strictement positif car , donc ).

Il existe donc tel que u(x) = v(x) = y.

• Si

alors v(y) = y

Donc v est bijective. Ce qui démontre la première proposition.

Interprétation

On peut donner une interprétation concrète du résultat montré ci-dessus. A est l'ensemble (infini !!) des spectateurs d'un théâtre (infini). Chaque spectateur a réservé une place, et initialement, on suppose que chaque place est occupée par un spectateur, mais pas forcément par le spectateur qui a réservé cette place. B est alors l'ensemble des spectateurs assis. Par ailleurs, les ensembles étant infinis, il peut rester des spectateurs debout. L'application u est l'application qui, à un spectateur x associe le spectateur y = u(x) assis à la place de x.

C₀ est l'ensemble des spectateurs initialement debout. Ces spectateurs se rendent à leur place et délogent leur occupant. Ceux-ci forment alors l'ensemble C₁. Ces derniers procèdent de même. C_n désigne les spectateurs debout à la n-ème étape. Ils vont aux places qu'ils ont réservé et en chassent leurs occupants. On itère une infinité de fois. C désigne l'ensemble des spectateurs qui se sont levés au moins une fois (y compris ceux qui étaient debout initialement).

L'application v désigne l'application, qui, à un spectateur x qui doit se lever, associe le spectateur y qu'il va déloger, ou bien qui, à un spectateur x qui reste toujours assis, associe x lui-même. L'application réciproque de v est l'application, qui, à un spectateur y qui est dérangé, associe le spectateur x qui vient prendre sa place, ou bien qui, à un spectateur y jamais dérangé, associe y lui-même.

Démonstration finale du théorème

Montrons alors le théorème initial.

Soit B = g(F) l'image de F par l'application g injective. L'application est une application injective de E dans B, avec . Donc il existe une application bijective v de E sur B. Comme g est une injection, la restriction de g a son image pour l'espace d'arrivée est une bijection de F sur B. Donc la composée est une bijection de E sur F, ce qui démontre le théorème de Cantor-Bernstein.

Démonstration n°2

Un lemme préliminaire

Cette démonstration repose sur le lemme suivant, cas particulier du théorème de Knaster-Tarski. Soit E un ensemble et (où est l'ensemble des parties de E) une application croissante, i.e. . Alors G admet un point fixe, i.e. .

En effet, posons et . Alors :

• pour tout , d'une part , d'autre part car G est croissante. Donc et donc . M est donc la partie maximale de S

• donc car G est croissante. Donc donc compte tenu de la maximalité de M comme élément de S. On a donc bien G(M) = M

Démonstration finale

Soient maintenant f injective de E dans F et g injective de F dans E. Pour toute partie A de E. On pose G(A) = E − g(F − f(A)). On calcule f(A) ensemble des images des éléments de A par f, on en prend le complémentaire dans F, on prend l'ensemble g(F − f(A)) des images des éléments de cette partie par g et on prend le complémentaire dans E. Il n'est pas difficile de vérifier que G est croissante.

On introduit alors la partie M du lemme préliminaire. Cette partie est invariante par G ce qui signifie que g(F − f(M)) est exactement le complémentaire de M dans E.

On pose :

si

si

φ est bijective de E dans F.

M joue un rôle comparable à la partie C dans la première démonstration ou à dans la démonstration qui suit.

Démonstration n° 3

Appelons ancêtres d'un élément x de E l'antécédent de x par g (s'il existe) puis l'antécédent de cet antécédent par f, etc. Procédons de même pour les éléments de F.

Notons E_p (resp. E_i) l'ensemble des éléments de E ayant un nombre pair (resp. impair) d'ancêtres. E_p n'est autre que la partie C de la première démonstration. Notons l'ensemble des éléments de E ayant un nombre infini d'ancêtres. E_p, E_i et forment une partition de E. Définissons de même F_p, F_i et .

f est une bijection de E_p sur F_i et aussi de sur . g est une bijection de F_p sur E_i, et sa réciproque est donc une bijection de E_i sur F_p.

On peut ainsi construire une bijection de E sur F.

Applications

Si l'on considère la technique naïve qu'a un enfant pour compter le nombre d'éléments d'un ensemble, cela revient quasiment toujours à associer chacun des élements à un autre d'un ensemble connu dont le nombre d'élements est connu.

Il peut s'agir soit d'associer chacun des éléments à compter avec l'un des doigts, soit d'associer chacun des éléments avec un nombre que l'on réciterait à haute voix (un, deux, trois, etc.), par exemple.

En clair, compter se fait naïvement en effectuant une bijection d'un ensemble dont la " dimension " est connue vers un autre dont la dimension est inconnue.

Ce théorème s'interprète alors comme disant : " Si je peux compter une partie d'un ensemble avec la totalité des éléments d'un autre ensemble, et réciproquement, alors ils ont le même nombre d'élements ". Ce qui est évident pour des ensembles finis. Ce théorème généralise alors cette notion pour des ensembles infinis.

Si je peux compter un certain nombre de billes de mon sac de billes avec mes dix doigts, et qu'avec la totalité de mes billes, je peux les associer avec certains de mes doigts, alors j'ai exactement dix billes.

À partir de là, ce théorème représente l'une des briques de base pour généraliser la notion de tailles d'ensembles à des ensembles infinis.

Généralisation

Soit X un ensemble non vide et une relation d'équivalence sur l'ensemble des parties de X. On suppose qu'elle vérifie les deux propriétés:

• si A˜B alors il existe une bijection f de A dans B telle que, pour tout sous-ensemble C de A, f(C)˜C;
• si et A₁˜B₁ et A₂˜B₂ alors .

Soient deux ensembles A et B, un sous-ensemble A₁ de A et un sous-ensemble B₁ de B. On suppose que A˜B₁ et B˜A₁. Alors A˜B.

Ceci peut également être démontré sans l'axiome du choix^[1]. Dans le cas particulier ou et est la relation d'équipotence, on retrouve le résultat précédent.