Notation bra-ket
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La notation bra-ket (La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique, mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique (voir...) a été introduite par Paul Dirac pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique (Fille de l'ancienne théorie des quanta, la mécanique quantique constitue le pilier d'un ensemble de théories physiques qu'on regroupe sous l'appellation...), mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il est représenté par un objet mathématique qui donne le maximum d'information possible sur le système,...) (voir Axiomes de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes (engrenages, poulies, courroies, vilebrequins, arbres...) quantique). Le nom provient d'un jeu de mots avec le terme bracket qui signifie " crochet de parenthèse ", en l'occurrence "\ \langle\" et "\ \rangle\" respectivement appelés " bra " et " ket ". Cette notation est depuis reprise dans l’étude mathématique de l’algèbre des opérateurs, et dont le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d’application est plus large.

Le 'ket'

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Soit un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de...) de l’espace des états. Il est noté \left| u \right\rangle et s'appelle vecteur-ket ou ket.

Deux kets forment un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur, voir l'article...) linéaire. Ainsi, si λ1 et λ2 sont des nombres complexes quelconques,

\left| v \right\rangle = \lambda_1 \cdot \left| u_1 \right\rangle + \lambda_2 \cdot \left| u_2 \right\rangle

est un ket.

En allant plus loin, si \ |x\rangle\ dépend d’un indice continu \ x\, et si \ f\ est une fonction complexe, alors,

\left| u \right\rangle = \int_{x_1}^{x_2}{f(x) \cdot d{x}}

est un ket.

Propriétés

Le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique s'ajoutant aux lois définissant la structure d'espace vectoriel. À deux vecteurs elle associe leur produit, qui est un nombre (ou scalaire). Elle permet...) de deux kets est un complexe, noté \left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right) ou plus simplement \left\langle \phi | \psi \right\rangle (voir plus bas : bra). Ce produit est antilinéaire, c’est-à-dire que :

\left\langle \phi | \lambda \cdot \psi_1 + \mu \cdot \psi_2 \right\rangle = \lambda \cdot \left\langle \phi | \psi_1 \right\rangle + \mu \cdot \left\langle \phi | \psi_2 \right\rangle

mais que :

\left\langle \lambda \cdot \phi_1 + \mu \cdot \phi_2 | \psi \right\rangle = \lambda^* \cdot \left\langle \phi_1 | \psi \cdot \right\rangle + \mu^* \cdot \left\langle \phi_2 | \psi \right\rangle.

(l'expression \ c^*\ signifie que l'on prend le complexe conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de la même partie réelle que z mais de partie imaginaire...) de \ c\ — voir les nombres complexes)

Ce choix permet la définition d’une norme (Une norme, du latin norma (« équerre, règle ») désigne un état habituellement répandu ou moyen considéré le...), qui est positive dans l’espace scalaire (Un vrai scalaire est un nombre qui est indépendant du choix de la base choisie pour exprimer les vecteurs, par opposition à un pseudoscalaire, qui est un nombre qui peut dépendre de la base.) des nombres complexes. En effet, le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est égal au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la...) de sa norme :

\left\langle \lambda \cdot \psi | \lambda \cdot \psi \right\rangle = \lambda \cdot \lambda^* \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle = {\left|\lambda\right|}^2 \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle,

avec \ \lambda\ un scalaire une sorte de facteur d’échelle. Et d'où :

\left\langle \psi | \psi \right\rangle = {\left|\left| \psi \right|\right|}^2

Base & composantes

Il est commode d’utiliser une base afin de définir les composantes d’un ket. Il s’agit d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une...) de vecteurs \left| u_n \right\rangle, linéairement indépendants. Il y a autant de vecteurs que de dimensions dans l’espace des états \ \epsilon\, et \dim{\left( \epsilon \right)} = N.

Ainsi, on peut décomposer \left| \psi \right\rangle dans la base des \left| u_n \right\rangle :

\left| \psi \right\rangle = \sum_{n = 1}^N {\psi_n \cdot \left| u_n \right\rangle},

\ \psi_n\ sont les composantes de \left| \psi \right\rangle et appartiennent aux nombres complexes.

On représente généralement un ket comme un vecteur colonne, une suite de nombres (les composantes) rangés verticalement :

\left| \psi \right\rangle = \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{pmatrix}_{\epsilon} = \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \left| u_1 \right\rangle & \left| u_2 \right\rangle & \cdots & \left| u_N \right\rangle \end{bmatrix}

Le 'bra'

Définition

On veut associer à chaque ket d’un espace \ \epsilon\, un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) complexe. On définit pour cela une fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions. Initialement, le terme désignait les fonctions qui en prennent d'autres en argument. Aujourd'hui, le terme a été étendu, et...) linéaire \ \chi\ telle que :

\chi : \left| \psi \right\rangle \rightarrow \lambda = \chi(\psi), et
\chi{\left( \lambda_1 \cdot \left| \psi_1 \right\rangle + \lambda_2 \cdot \left| \psi_2 \right\rangle \right)} = \lambda_1 \cdot \chi{\left( \left| \psi_1 \right\rangle \right)} + \lambda_2 \cdot \chi{\left( \left| \psi_2 \right\rangle \right)}

L’ensemble de ces fonctionnelles linéaires constitue un espace vectoriel \ \epsilon^*\, dit espace dual de \ \epsilon\. On appelle vecteur-bra ou bra un élément de cet ensemble et on le note \left\langle \phi \right|.

Ainsi, quand la fonctionnelle linéaire \ \chi\ agit sur \left| \psi \right\rangle, on obtient :

\chi{\left( \left| \psi \right\rangle \right)} = \lambda = \left\langle \phi | \psi \right\rangle

Cette nouvelle notation souligne en fait la relation qu’il existe entre bra, ket et le produit scalaire entre kets. Prenons un ket \left| \phi \right\rangle. Son produit scalaire avec \left| \psi \right\rangle donne un nombre \ \lambda\. On a ainsi défini une fonctionnelle linéaire qui à \left| \psi \right\rangle fait correspondre un nombre complexe \ \lambda\, à partir de \left| \phi \right\rangle :

\phi{(|\psi\rangle)} = \lambda = \left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right)

Puisque cette fonctionnelle se note \left\langle \phi \right|, on écrit également :

\left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right) = \left\langle \phi \right| \cdot \left| \psi \right\rangle = \left\langle \phi | \psi \right\rangle

Ceci nous amène à dire qu’à chaque ket, correspond un bra, tel que le produit scalaire \left( \left| \phi \right\rangle, \left| \psi \right\rangle \right) s’écrive \left\langle \phi | \psi \right\rangle. Cette correspondance (La correspondance est un échange de courrier généralement prolongé sur une longue période. Le terme désigne des échanges de courrier personnels plutôt qu'administratifs.) n’est cependant absolument pas réciproque (La réciproque est une relation d'implication.). Il existe des bras (non linéaires) qui n’ont aucun " équivalent ket " (ces bras sont des fonctionnelles non linéaires pour lesquels il n’existe pas de ket unique respectant l’égalité, soit parce que l’équation n'a pas de ket solution, soit parce qu’il existe plusieurs kets solutions de l’équation).

L’écriture \left\langle \phi | \psi \right\rangle revêt alors deux significations, l’une étant le résultat de l’application d’une fonctionnelle à un ket, l’autre étant le produit scalaire de deux kets.

Propriétés

Il existe une correspondance entre bra et ket :

\left| \psi \right\rangle \rightarrow \left\langle \psi \right| (mais \left\langle \psi \right| \rightarrow \left| \psi \right\rangle n’est pas toujours vrai.)

L’antilinéarité du produit scalaire implique la correspondance suivante :

\lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \rightarrow \lambda^* \cdot \left\langle \psi \right|

En effet, la norme de \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle est définie positive :

{\left|\left| \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \right|\right|}^2 = \lambda \cdot \lambda^* \cdot \left\langle \psi | \psi \right\rangle = \left( \lambda^* \cdot \left\langle \psi \right| \right) \cdot \left( \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle \right)

On identifie le ket \lambda \cdot \left| \psi \right\rangle, ce qui implique que le " reste " de l’expression est le correspondant dans l’espace dual des fonctionnelles linéaires.

Composantes

L’écriture de la norme permet d’écrire un bra sous forme de composantes dans l’espace vectoriel dual \ \epsilon^*\ de même dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de révolution.) que l’espace vectoriel \ \epsilon\ des états :

\dim{\left( \epsilon \right)} = \dim{\left( \epsilon^* \right)} = N,
\left\langle \phi \right| = \sum_{n = 1}^N{\phi_n \cdot \left\langle u_n \right|},
\left| \psi \right\rangle = \sum_{n = 1}^N{\psi_n \cdot \left| u_n \right\rangle}.

On représente aussi le bra sous la forme d’un vecteur ligne, une suite de nombres (les composantes) rangés horizontalement :

\left\langle \phi \right| = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}_{\epsilon^*} = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \left\langle u_1 \right| \\ \left\langle u_2 \right| \\ \vdots \\ \left\langle u_N \right| \end{bmatrix}

On notera que le produit matriciel (Le produit matriciel désigne le produit de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux »[1]. Cet article montre comment multiplier les matrices.) ci-dessus est commutatif car la matrice ligne ne contient que des scalaires, la matrice colonne que des bras unitaires, et le produit d’un scalaire et d’un bra est commutatif, et car le produit matriciel d’une matrice colonne et d’une matrice ligne, s'il est défini, est toujours commutatif. Il en est de même du produit matriciel d’une matrice colonne de scalaires et d’une matrice ligne de kets.

Il est alors possible d’écrire le produit scalaire d'un bra et d’un ket sous forme du produit de quatre matrices : deux matrices scalaires et des matrices de bras unitaires ou de kets unitaires. En permutant les matrices scalaires, il reste à déterminer le produit de matrices de bras unitaires et de kets unitaires. Or on note que ces matrices unitaires sont transposées et conjuguées, ce qui signifie que leur produit se réduit au produit de leurs normes. Comme par définition, la norme des matrices unitaires est 1, ces matrices unitaires peuvent être éliminées du produit scalaire. La définition même du produit scalaire nous permet alors de l'écrire simplement en terme de produit de deux matrices scalaires de la façon suivante :

\left\langle \phi | \psi \right\rangle = \left( \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_N \end{pmatrix}_{\epsilon^*}, \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{pmatrix}_{\epsilon} \right) = \begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_N \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_N \end{bmatrix} = \sum_{n = 1}^N{\phi_n \cdot \psi_n}

Etymologie

En anglais bracket signifie " crochet ", ce qui a donné leur nom aux bra-ket, un peu comme " babord " et " tribord ".

Opérateurs et notation de Dirac

D’une façon générale les opérateurs linéaires agissant sur l’espace \ \epsilon\ des états peuvent s’écrire sous la forme d’une combinaison (Une combinaison peut être :) linéaire d'opérateurs de la forme suivante :

\left| \psi \right\rangle \cdot \left\langle \varphi \right|,

dont l’action sur un état, représenté par le ket \left| \phi \right\rangle, sera tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) simplement l’état :

\left\langle \varphi | \phi \right\rangle \cdot \left| \psi \right\rangle,

permettant une grande économie d’écriture.

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