Notation bra-ket - Définition et Explications

Introduction


Mécanique quantique
 \hat H | \psi\rangle = i\hbar\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}|\psi\rangle
Postulats de la mécanique quantique

Histoire de la mécanique quantique

Cette boîte : voir • disc. • mod.

La notation bra-ket a été introduite par Paul Dirac (Paul Adrien Maurice Dirac (8 août 1902 à Bristol, Angleterre - 20 octobre 1984 à...) pour faciliter l’écriture des équations de la mécanique quantique (La mécanique quantique est la branche de la physique qui a pour but d'étudier et de...), mais aussi pour souligner l’aspect vectoriel de l’objet représentant un état quantique (En mécanique quantique, l'état d'un système décrit tous les aspects du système physique. Il...) (voir Axiomes de la mécanique (Dans le langage courant, la mécanique est le domaine des machines, moteurs, véhicules, organes...) quantique).

Le nom provient d'un jeu de mots avec le terme (en) bracket qui signifie « crochet de parenthèse », en l'occurrence « \langle » et « \rangle » respectivement appelés « bra » et « ket » (un peu à l'image de bâbord et de tribord). Cette notation est depuis reprise dans l’étude mathématique de l’algèbre des opérateurs, dont le champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d’application est plus large.

L'origine du formalisme

Notation : la notation * signifie qu'il est question du transposé du conjugué (En mathématiques, le conjugué d'un nombre complexe z est le nombre complexe formé de...) d'un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) dont les coordonnées sont des nombres complexes.

On rappelle que les fonctions d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation...) quantiques sont des fonctions du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...), des coordonnées spatiales, voire d'autres paramètres internes (spins, moments magnétiques, …) :

\Psi(t,x,y,z,\sigma,\ldots)

qu'elles sont solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de Schrödinger :

i \hbar \partial _t \Psi(t, x, \ldots)=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi(t, x, \ldots)+V(x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots)

qu'elles sont normalisées, de sorte que :

\int \Psi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \mathrm dx \ldots=1

et que la valeur d'une grandeur physique (Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de...) A est obtenue par :

\int \Psi^*(t, x, \ldots)A(x, \partial_x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \mathrm dx \ldots= \langle A\rangle

La notation de Dirac s'appuie sur l'identification de l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé...) précédente avec un produit hermitien (Plusieurs entités mathématiques sont qualifiées d'hermitiennes en référence au mathématicien...) sur l'espace des fonctions à valeur complexe de carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) intégrable L2 :

\int \Psi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \mathrm dx \ldots=\langle \Psi, \Psi\rangle

et par généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de...) à deux fonctions Φ(t,...) et Ψ(t,...) :

\int \Phi^*(t, x, \ldots)\Psi(t, x, \ldots) \mathrm dx \ldots=\langle \Phi, \Psi\rangle

noté en mécanique quantique : \langle \Phi\mid \Psi\rangle On identifie donc :

  • la fonction Ψ(t,x,y,z,σ,...) avec un vecteur formel |\Psi\rangle dénommé ket Ψ.
  • la fonctionnelle (En mathématiques, le terme fonctionnelle se réfère à certaines fonctions....) duale \textstyle\int \Phi^*(t, x, \ldots) \mathrm dx \ldots avec \langle \Phi| dénommé bra Φ, dual du ket Ψ.

D'autre part sous le formalisme de Heisenberg, les solutions ne sont plus des fonctions, mais les vecteurs d'un espace de vecteurs d'états, ce qui rend l'identification encore plus directe.

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