-1 (nombre) - Définition
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Introduction
−1 est le nombre entier plus grand que moins deux (−2) et plus petit que 0.
| −1 | ||
|---|---|---|
| Cardinal | moins 1 | |
| Ordinal | −1e | |
| Autres numérotations | ||
| Numération romaine | ||
| Système binaire | −1 ou 11111111 (complément à deux) | |
| Système octal | −1 | |
| Système duodécimal | −1 | |
| Système hexadécimal | −1 ou FF (complément à deux) | |
En mathématiques
Moins un :
- possède certaines propriétés légèrement différente du nombre plus un. Moins un serait un élément neutre pour la multiplication s’il ne changeait pas le signe :
- Nous admettons que
-
- Les deux racines carrées du nombre réel négatif −1 sont les unités imaginaires
- est le résultat de l’identité d’Euler puisque
- est une des trois valeurs possibles de la fonction de Möbius. En entrant un entier sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers distincts, la fonction de Möbius retourne la valeur moins un.
Pourquoi −1 × −1 est égal à 1 ?
Plus généralement, pourquoi un négatif fois un négatif donne un positif ? Il existe deux manières de répondre à cette question. La première est intuitive et conceptuelle ; la deuxième est formelle et algébrique.
Explication intuitive
Il existe plusieurs manières de conceptualiser la multiplication. Limitons-nous aux nombres positifs, pour le moment.
La multiplication est, de façon basique, une addition répétée. Pour multiplier 50 par 3, nous pouvons imaginer une barre droite de 50 centimètres de long en face de nous. Si nous reportons trois fois cette longueur dans le même sens, avec la fin de la barre placée au début de l’autre mise précédemment, nous obtiendrons exactement une longueur de 3 × 50 cm, autrement dit 50 cm + 50 cm + 50 cm, ceci trois fois.
Qu’est-ce que cela voudrait dire en plaçant ceci « négativement plusieurs fois » ? Une réponse peut être faite par rapport au sens du déplacement, si nous les plaçons dans le sens opposé trois fois de suite, nous retournerons à notre point initial. Nous faisons la même action en multipliant par un nombre négatif à la différence près que nous changeons de sens. Si nous allons vers la droite en multipliant par un nombre positif, nous allons à gauche en multipliant par un nombre négatif.
Ceci ne couvre que le cas d’une longueur « positive ». Si nous supposons que la multiplication ne dépend pas de l’ordre des termes (commutativité), alors 50 × −3 = −3 × 50 = −150. Aligner une longueur de 50 cm moins 3 fois nous donnera une longueur de 150 centimètres vers la gauche, (en utilisant les directions précédentes). Cependant, ce serait le même résultat si nous avions orienté la gauche au départ puis aligné une longueur de 30 centimètres 5 fois dans ce sens. En d’autres mots, pour multiplier en utilisant une longueur négative, nous devons orienter dans la direction opposée au sens original avant d’aligner la longueur.
Maintenant, nous pouvons voir pourquoi −1 × −1 = 1. Nous orientons la gauche originellement. Notre barre a une longueur de −1, donc nous la tournons nous-mêmes pour indiquer la droite. Puis, nous plaçons la barre de façon négative, une fois, c’est-à-dire nous nous orientons nous-mêmes vers la gauche et nous plaçons la barre. Ceci est la même chose si nous avions simplement placé la barre vers la gauche sans que nous ayons bougé.
Explication algébrique
L’explication algébrique est essentiellement une formalisation de l’explication intuitive précédente. Démarrons avec l’équation
La première égalité se déduit du fait que « quelque chose fois zéro donne zéro ». La seconde se déduit de la définition de −1 comme étant l’opposé de 1 : c’est précisément ce nombre qui ajouté à 1 donne 0. Maintenant, en utilisant la distributivité, nous pouvons voir que
La deuxième égalité se déduit du fait que 1 est l’élément neutre pour la multiplication et une simple addition. Nous pouvons ajouter 1 aux deux côtés de cette dernière équation pour voir que {{{1}}}.
L’argument précédent reste valable dans tout anneau associatif avec 1. Il possède un aspect commun avec certains résultats basiques de l’algèbre générale.
