Axiomes de plans projectifs/Suite des axiomes - Définition

Des choix cornéliens pour approfondir les plans projectifs

Lorsque l’on aborde les plans projectifs selon une cascade d’axiomes reliés par une cascade de théorèmes il est possible d’hésiter, la tentation de tout démontrer d’un seul coup avec un théorème très puissant est forte, ou la tentation de tout démontrer algébriquement.

Premier choix, géométrie pure (synthétique) ou analytique ?

Une première alternative s'est posée à divers auteurs dans leur tentative de formalisation : géométrie pure ou géométrie analytique ? En effet depuis Descartes puis Newton, Liebnitz, Euler la géométrie s'est progressivement algébrisée à tel point qu'il est désormais courant que l'on définisse le plan projectif comme un être particulier d'une branche abstraite telle que la géométrie algébrique (un PP est une certaine « variété ») ou la géométrie combinatoire (un PP d'ordre n est un ensemble de n²+n+1 points et droites tels que...) ou découlant d'un espace vectoriel (un PP est un EV-{000}). À partir de ces définitions il sera facile de démontrer les théorèmes de Pappus et de Désargues, les propriétés de transformations homographiques voire réinventer les coniques, les polaires, les tangentes, les intersections sans oublier le birapport. C'est ce que fit Jules Molk dans sa géométrie algébrique plane de 1915 rééditée en 1992. La démarche opposée est celle des géomètres « purs ». On ne fait rien par le calcul, on démontre tout en pure géométrie. Poncelet (1788-1867) d'ailleurs affirme le projet de « rendre la géométrie enfin indépendante de l'analyse algébrique ». Autant que possible on suivra cette tendance qui finalement revient à formaliser la démarche artisanale des peintres depuis au moins la Renaissance.

Deuxième choix, force ou précision ?

Certains auteurs partent de quelques grands axiomes, quelques grands théorèmes, toutes les propriétés des plans projectifs en découlent. Par exemple Coxeter, Toronto 1987 à partir des « projectivities », du théorème fondamental et des polarités démontre rapidement -quelques pages- tout depuis le théorème de Pappus jusqu'aux coniques. De même dans l'exemple précité Jules Molk dans sa géométrie algébrique plane part de C^3-{000} et étudie tout sur les coniques. C'est particulièrement rapide et efficace. L'autre démarche consiste à examiner avec précision les explications de telle ou telle propriété, à en retrouver les fondements axiomatiques. C'est une méthode minimaliste, démontrer le maximum de choses avec un minimum d'axiomes. Autant que possible nous suivrons ici cette tendance. On peut se poser certaines questions :

• qu'y a-t-il entre le bloc Pappus-Désargues et les coniques ?
• qu'y a-t-il entre les axiomes d'incidence et le bloc Pappus-Désargues ?
• y a-t-il des concepts intermédiaires entre l'axiome de Pappus et le théorème de Désargues, ce bloc est-il vraiment monolithique ?

Pour approfondir.

• Rappel des notions : Axiomes de plans projectifs et Axiomes de plans projectifs/homogènes.
• Suite : Traité projectif des coniques.

Liens externes

• Développements sur le Thèorème de Pappus : Merveilleux Pappus