Axiomes de plans projectifs/homogènes - Définition et Explications

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Introduction

« Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes. » Henri Poincaré

Le plan homogène est une création abstraite de géométrie analytique destinée à uniformiser les calculs d'intersections de droites sans se préoccuper de savoir si elles sont parallèles ou non. Dans un premier temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) le plan homogène et les coordonnées homogènes (En mathématique, les coordonnées homogènes, introduites par August Ferdinand Möbius, rendent...) ont un but simplement computationnel. Dans un deuxième temps si on approfondit les conséquences de la définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la...) des coordonnées homogènes on s'aperçoit que ceci correspond à la définition d'un plan projectif; comme il existe plusieurs sortes de plans projectifs, on se demande duquel il s'agit et l'on peut démontrer que le plan projectif homogène répond au théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) fondamental de la géométrie projective (En mathématiques, la géométrie projective est le domaine de la géométrie...).

Cascade d'axiomes de plans projectifs

Plan projectif-tout-court

Un plan projectif (PP) est un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) de points et de droites (c'est-à-dire de groupements de points qu'on appellera droites). Un point (Graphie) est incident à cette droite s’il appartient à ce groupement. Une droite est incidente à un point si ce point fait partie de ce groupement. On dit aussi que cette droite passe par ce point ou que ce point est sur cette droite. Ce ne sont là que des questions de vocabulaire. Attention, une droite ne ressemble pas forcément aux bonnes vieilles droites de notre plan euclidien « naturel », ce n'est qu'un mot pour désigner des sous-ensembles de points. Une convention dans le dessin des figures, surtout lorsqu'elles dépassent le bord de page, est de « courber les droites ».

Plan projectif d'incidence (la base minimaliste)

Un plan projectif (PPI) d’incidence est un PP qui vérifie les axiomes :

  1. Il existe au moins 2 points et une droite.
  2. Chaque droite possède au moins 3 points.
  3. Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
  4. Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
  5. Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.

Plan projectif homogène

définition du plan projectif homogène

La géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace...) projective homogène est la conception purement abstraite d'une structure ensembliste fondée sur des notions très élémentaires de théorie des ensembles (La théorie des ensembles est une branche des mathématiques, créée par le...). Le point de départ est un corps commutatif K dans lequel on exploite en particulier les propriétés d'associativité a*(b*c)=(a*b)*c, commutativité a*b=b*a et a+b=b+a, distributivité (En mathématiques, on dit qu'un opérateur est distributif sur un opérateur si pour tous x, y, z...) r*(a+b)=r*a+r*b, simplification d'une égalité ( r*a=r*b et r non nul impliquent a=b), toutes choses bien connues des lycéens. On invente une relation d'équivalence R très simple. A partir de là on étudie l'ensemble-quotient induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de...) par cette relation d'équivalence, ce qui est un peu plus abstrait. Sur ces bases simples sera défini un plan projectif homogène (PPH) dont on verra ci-dessous qu'il est un cas particulier de plan projectif fondamental.

Un plan projectif homogène (PPH) est l'ensemble-quotient d'un ensemble E par une relation d'équivalence R,

  • l'ensemble E étant un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant...) de dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une...) 3 sur un corps commutatif K, privé du vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet...) nul (0,0,0).
  • la relation R étant telle que, si k est un élément non-nul de K et V et W sont deux vecteurs non-nuls de E, alors W = kV.
  • On appelle "point" une des classes d'équivalence, représentée par (x,y,z).
  • On appelle "droite" une des classes d'équivalence, représentée par (a,b,c).
  • Un "point" et une "droite" sont incidents lorsque ax+by+cz=0.
  • Ces coordonnées sont appelées coordonnées homogènes.
  • Attention, le corps commutatif K est arbitraire : ce peut être celui des réels, celui des complexes, un corps fini (En mathématiques et plus précisément en algèbre, un corps fini est un corps...) tel que {0,1} ou {0,1,2}, etc.
  • De plus, on pourra utilement « prolonger » le corps commutatif K jusqu'à l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus,...), obtenant ainsi le corps prolongé P(K). Pour ce faire, les notations deviennent une peu lourdes. P(K) est bâti à partir de l'ensemble des doublets (c1,c2), c1 et c2 appartenant à K. Deux doublets (c1,c2), (c3,c4) sont équivalents lorsqu'il existe un élément c5 non-nul de K tel que c3=c5*c1 et c4=c5*c2. Cette relation d'équivalence induit un ensemble-quotient, c'est cet ensemble-quotient que l'on appelle le corps prolongé P(K). En termes concrets, si c2 est non-nul, l'élément (c1,c2) correspond au nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) c1/c2 de K ; si c2 est nul, l'élément (c1,0) est le « nombre-infini », noté ∞, qui est unique et ne correspond à rien dans K. Ouf ! Exemples : le nombre (10,5) correspond au classique nombre 2 de K, le nombre (10i,10) correspond au classique nombre i de K si celui-ci est l'ensemble des complexes, le nombre (30+20i,10i) correspond au nombre 2-3i de K si celui-ci est l'ensemble des complexes, et dans tous les cas, (p,0) est l'infini. Les lois de composition internes sont évidentes, à savoir l'addition (L'addition est une opération élémentaire, permettant notamment de décrire la...) (c1,c2)+(c3,c4)=(c1*c4+c2*c3, c2*c4) et la multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire...) (c1,c2)*(c3,c4)=(c1*c3,c2*c4); l'opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) de (a,b) est (-a,b); l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de...) de (a,b) est (b,a). Les ajouts de lois de composition internes par rapport à K sont simplement que  :
  1. ∞+(c3,c4)=(c1,0)+(c3,c4)=(1, 0)=∞ : l'infini est absorbant pour l'addition ;
  2. l'opposé de l'infini n'existe pas ;
  3. si c3 est non-nul, ∞*(c3,c4)=(c1,0)*(c3,c4)=(c1*c3, 0)=∞ ; l'infini est absorbant pour la multiplication, de même que zero ;
  4. ∞*0 n'est pas défini, car deux éléments absorbants ne peuvent pas se combiner ;
  5. on définit l'inverse de l'infini=(1,0) comme étant zéro=(0,1) et réciproquement, afin de prolonger la règle qui dit que l'inverse de (a,b) vaut (b,a) si a et b sont tous deux non-nuls.
Cet ensemble prolongé servira au rapport anharmonique (Le rapport anharmonique ou birapport est un outil puissant dans la géométrie, en particulier la...).

Tolérance d'écriture lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté et qu'on est sûr de ne pas avoir affaire à l'infini, on écrit souvent « c » au lieu de « (c,1) » ; mais il faut être prudent.

« Lorsque nous lisons actuellement des manuels de géométrie projective d'un formalisme absolu, sans figure, nous pensons que les étudiants ne peuvent, faute de formation adéquate, en comprendre la substance. » - Anne Boyé, Pour la science, n°21, novembre 2004-février 2005.

le Pp homogène est d'incidence

On peut vérifier que cet ensemble-quotient est bien un plan projectif d'incidence.

nombreuses propriétés du Pp homogène

La plupart des propriétés analytiques des plans projectifs homogènes découlent de l'espace vectoriel de départ. Elles se réfèrent à des propriétés d'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse...), de forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications...), de forme bilinéaire (En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une forme...) et de forme quadratique (En mathématiques, une forme quadratique est un polynôme homogène de degré deux...).

le Pp homogène et le plan classique de dim2

Qui plus est, si la droite de l'infini est la droite (0,0,1), alors on retrouve facilement les coordonnées cartésiennes du plan affine classique de dim2. Si l'on veut se ramener au plan "classique" de la géométrie euclidienne (La géométrie euclidienne commence avec les Éléments d'Euclide, qui est à...), des résultats spectaculaires sont obtenus, en particulier le calcul de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) de deux droites, le calcul de droites orthogonales, toutes le opérations sur l'angle droit; ce qui nous mènerait sans difficulté à trouver l'équation homogène d'un cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale...) de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre...) donné. Les coordonnées homogènes sont utilisées dans ces conditions par certains logiciels de programmation (La programmation dans le domaine informatique est l'ensemble des activités qui permettent...) graphique 3D.

coniques dans le même cas particulier

En dehors des PPH et de la démonstration du théorème fondamental -voir infra- on peut s'efforcer de raisonner sans aucune utilisation de coordonnées quelles qu'elles soient.

Axiomes de plans projectifs/barycentriques

Les plans projectifs barycentriques sont un peu moins généraux que les plans projectifs homogènes mais ont des propriétés très similaires. La notion de plan projectif barycentrique (PPB) est facile à imaginer intuitivement. Elle se définit à partir de la notion de barycentre (Le barycentre est un point mathématique (géométrie analytique) construit à partir d'un ensemble...) dans un plan de la géométrie ordinaire auquel on rajoute des points, appelés de manière imagée et arbitraire points à l'infini.

Plans projectifs fondamental, de Pappus (Pappus d'Alexandrie vécut au IVe siècle après J.C. Il est un des plus important...), de Désargues etc

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