Traité projectif des coniques - Définition

Introduction

Les coniques ont été définies de mille manières au cours des siècles, chacune ayant ses avantages et ses inconvénients. Actuellement on aime les définir par la notion monofocale d'excentricité (voir conique). Avantages : il n'y a que des calculs, ils sont du niveau terminale de lycée ; inconvénients : un peu trop de géométrie analytique, peu de dessin. Une autre approche est classique, elle définit une conique comme l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution; on pourrait lui reprocher de nécessiter la connaissance du cercle, donc la connaissance préalable de la notion de distance ou de la notion d'angle droit, donc d'une connaissance préliminaire d'un espace métrique. Or le dessin des coniques dans un plan, fût-il euclidien sans le savoir, devrait se dispenser de tels prérequis. Une approche purement géométrique à base de règle et crayon, sans équerre ni compas ni double décimètre est présentée ici. On démarre avec quelques axiomes de plans projectifs, ce qui est une expression bien savante pour désigner les alignements et les intersections, on continue le plus loin possible sans utiliser les distances ni les angles. Dans un espace géométrique axiomatisé, fruit de la seule imagination des mathématiciens, on crée des êtres mathématiques particuliers, les coniques, et on se demande si elles peuvent coïncider avec nos coniques traditionnelles.

Les axiomes préalables

• Un plan projectif (PPI) d’incidence est un PP qui vérifie les axiomes :

• Il existe au moins 2 points.
• Chaque droite possède au moins 3 points.
• Pour deux points distincts il existe une et une seule droite qui leur est incidente.
• Deux droites distinctes ont un et un seul point commun.
• Pour toute droite il existe au moins un point non incident à cette droite.
• (Auxquels on ajoute l’axiome « invisible » d’abondance : toute droite et tout point du PPI possèdent respectivement autant de points et de droites qu’il est nécessaire pour que la configuration étudiée ne soit pas nécessairement dégénérée).

• Un plan projectif arguésien (PPA) est un PPI qui vérifie l’axiome de Desargues : Soient ABC et A'B'C' deux triangles sans point commun tels que les droites (AA'), (BB'), (CC') sont incidentes à un même point alors les points d'intersection des droites (AB) et (A'B'), (AC) et (A'C'), (BC) et (B'C') sont incidents à une même droite.
• Un plan projectif de Pappus (PPP) est un PPI qui vérifie l’axiome de Pappus : Dans un plan , soient A1, B1, C1 trois points distincts quelconques alignés sur une droite quelconque (d), et soient A2, B2, C2 trois autres points distincts quelconques alignés sur une autre droite quelconque (d'), alors les points A intersection de (B2C1) avec (C2B1), B intersection de (A2C1) avec (C2A1), C intersection de (B2A1) avec (A2B1) sont alignés.

La définition d’un ensemble pascalien

Vocabulaire nécessaire

• Dans la pratique. Hormis dans quelques rares cas cruciaux, les auteurs tolèrent les approximations de langage.

Si l’ordre est indifférent, on parlera d’un ensemble de 6 points {A ;B ;C ;D ;E ;F}, d’un ensemble de 6 droites {a ;b ;c ;d ;e ;f } ou {(AB) ;(BF) ;(DC) ;(AE) ;(CE) ;(FD)}.

Si l’ordre est important, on écrira des n-uplets rebouclés, par exemple (A-B-F-D-C-E-A) ou (e-b-c-a-f-d-e) = [(MN)-(NO)-(OP)-(PQ)-(QR)-(RM)-(MN)] = par tolérance(M-N-O-P-Q-R-M), le contexte seul permettant de lever l’ambiguïté ; dans un contexte de Pascal on sait qu’on travaille sur des points, qu’on examine l’alignement de TUV ; dans un contexte de Brianchon, on travaille sur des droites, on examine la convergence de j,k,l.

Ensemble pascalien, définition

• Hexagone pascalien ou hexagramme de Pascal. Définition : un hexagone pascalien

1. est un hexagone ordonné
2. dont les croisillons opposés forment trois points alignés.

Ce dernier point est équivalent à l'existence d'une conique circonscrite à l'hexagone. Cette conique pouvant être dégénérée en droites, on remarque que la configuration de Pappus est un cas particulier d'hexagramme de Pascal.

Besoin d’un concept-clef

On peut choisir un concept typiquement projectif, c'est-à-dire composé uniquement d'alignements et d'intersections.

Définition d'une conique. Dans un plan projectif d'incidence, une conique est un ensemble C maximal de points tel que tous les hexagrammes ordonnés construits avec 6 points distincts quelconques de cet ensemble soient pascaliens.

Par ensemble maximal possédant la propriété on entend: Si l'on ajoute n'importe quel nouveau point à cet ensemble, alors au moins un hexagramme ordonné contenant ce nouveau point n'a pas la propriété souhaitée.