Courbe algébrique - Définition

Correspondance entre courbes et corps de fonctions

Pour toute courbe (projective régulière et irréductible), son corps des fonctions rationnelles K(C) est un corps de fonctions d'une variable.

Si est un morphisme entre deux courbes (projectives régulières irréductibles), il est soit constant, soit dominant. Dans ce dernier cas, f induit un morphisme des corps des fonctions rationnelles qui fait de K(C) une extension finie de K(D).

On obtient ainsi un foncteur de la catégorie des courbes projectives régulières irréductibles, dont les morphismes sont les morphismes non-constants de k-schémas, vers la catégorie des corps de fonctions d'une variable, dont les morphismes sont les morphismes de k-extensions.

• Théorème: le foncteur ci-dessus est une équivalence de catégories.

Concrètement, cela veut dire que la donné d'une courbe est équivalente à la donné de son corps de fonctions, et que la dommné de morphismes non-constant est équivalente à la donné d'extensions finies de corps de fonctions.

Note: si k n'est pas parfait, il existe des corps de fonctions d'une variable qui ne soient pas des corps des fonctions rationnelles de courbes projectives lisses irréductibles. En revanche, si k est parfait, il n'y a pas de distinction entre régulier et lisse.

Définition Soit un morphisme non-constant. On appelle degré de f le degré de l'extension de corps K(C) / K(D) correspondante. Un morphisme est degré 1 si et seulement si c'est un isomorphisme.

Classification des courbes projectives lisses

Un premier invariant pour distinguer les courbes algébriques entre elles est le genre, qui rappelons-le, est la dimension de l'espace vectoriel des formes différentielles sur la courbe. C'est donc un entier positif ou nul.

Les courbes de petit genre

• On a g(C) = 0 si et seulement si C est une conique (non-dégénérée). Une conique est isomorphe (en tant que variété algébrique) à la droite projective si et seulement si elle possède un point rationnel. Le diviseur canonique sur une courbe de genre 1 est le diviseur nul.

• Si g(C) = 1 et si C a un point rationnel, alors C possède une structure de courbe elliptique. Dans le cas général, la jacobienne J de C est une courbe elliptique et C est un torseur (espace homogène principal) sous J (grosso modo, J opère transitivement et librement sur C).

• Si g(C) = 2, alors C est une courbe hyperelliptique.

• Pour tout , il existe une courbe de genre g. Pour g > 1, il suffit de considérer une courbe hyperelliptique définie par y² + ay = f(x) avec séparable de degré 2g + 1 et a = 1 ou 0, selon que k est de caractéristique 2 ou non.

• Les courbes de genre 3 sont soit hyperelliptique sur la clôture algébrique de k, soit une courbe plane de degré 4.

Espace de modules des courbes de genre g

Un espace de modules est une variété algébrique ou plus généralement un schéma dont les points correspondent à une classe d'objects provenant de la géométrie algébrique. Un espace de module est dit fin lorsqu'il représente un foncteur de la catégorie des variétés algébriques dans la catégorie des ensembles.

Fixons le corps de base k et un genre g. On peut considérer l'ensemble C_g des classes d'isomorphes des courbes de genre g sur k. On montre qu'il existe une variété algébrique intègre, normale et quasi-projective M_g sur k tel qu'il existe une application naturelle (naturelle veut dire une compatibilité avec les extensions de corps de base), qui soit une bijection sur un corps algébriquement clos. Cette variété s'appelle l'espace de modules des courbes de genre g. Elle est de dimension 0 si g = 0, de dimension 1 (et même isomorphe à la droite affine) si g = 1 (sur un corps algébriquement clos, toute courbe de genre 1 est une courbe elliptique, et sa classe d'isomorphisme est détermnée par l'invariant modulaire j). En genre au moins 2, M_g est de dimension 3g − 3. Moralement, il suffit de 3g − 3 paramètres (et des relations algébriques) pour décrire l'ensemble des courbes de genre g.

L'espace de modules M_g est dit grossier car il ne représente pas le foncteur des courbes projectives lisses de genre g (lequel foncteur n'est tout simplement pas représentable), mais ses points sur un corps algébriquement clos sont en bijection avec l'ensemble C_g, et la variété est en un sens minimal pour cette propriété.

Notons que contrairement aux surfaces topologiques, ce qui précède dit que le genre (à partir de 1) ne détermine absolument la courbe à isomorphisme près.