Courbe algébrique - Définition

Riemann-Roch

Le théorème de Riemann-Roch donne une estimation de la dimension de l'espace des fonctions rationnelles à pôles contrôlés par un diviseur donné. C'est un résultat fondamental dans l'étude des courbes algébriques. Concrètement, on se donne des points dans C, et on leur affecte des coefficients entiers . Soit D le diviseur somme des n_i[x_i]. Alors L(D) est par définition l'ensemble des fonctions rationnelles f nulle ou vérifiant l'inégalité pour tout i (plus synthétiquement : ). C'est un espace vectoriel sur le corps de base k, de dimension finie que l'on note l(D). On a les propriétés suivantes:

• Si D et D' sont linéairement équivalentes, alors l(D) = l(D').

• . En particulier, l(D) = 0 si degD < 0.

• si et seulement si D est linéairement équivalent à un diviseur effectif.

• , où g est le genre de la courbe, défini comme étant l(K). C'est la forme faible du théorème de Riemann-Roch.

• (Théorème de Riemann-Roch) On a l'égalité

• Corollaire:

• on a degK = 2g − 2;
• si degD > 2g − 2, alors l(D) = degD + 1 − g.

Définition Une courbe hyperelliptique est une courbe de genre au moins 2, dont le corps de fonction est une extension (nécessairement séparable) de degré 2 du corps des fractions rationnelles k(x). Cela revient donc à dire que C admet un morphisme de degré 2 vers . Attention cependant que certains auteurs appellent plus généralement courbes hyperelliptiques celles qui admettent un tel morphisme défini sur la clôture algébrique de k.

Exemples

• Une courbe projective plane donnée par une équation homogène de degré n est de genre (n − 1)(n − 2) / 2.

• Une courbe hyperelliptique correspondante à une extension y² = f(x) (en caractéristique différente de 2) avec séparable de degré d, est de genre g = [(d − 1) / 2]. Une base des formes différentielles est donnée par .

• Sur la droite projective, le diviseur canonique est linéairement équivalent à − 2[x] si x est un point rationnel quelconque.

Plongement dans un espace projectif

• Sur un corps infini, toute courbe projective lisse se plonge dans .

De façon plus canonique:

• si g > 2, le diviseur canonique induit un plongement dans si et seulement si la courbe n'est pas hyperelliptique (sur ).

• si g > 1, alors 3K (qui correspond à la puissance tensorielle ) induit un plongement de la courbe dans .

Groupe des automorphismes

Tout automorphisme de C se prolonge en un automorphisme de . On se limite donc aux courbes sur un corps k algébriquement clos.

• Le groupe des automorphismes de la droite projective est isomorphisme au groupe des homographies PGL₂(k).

• Supposons C de genre 1 et désignons arbitrairement un point x₀. Pour éviter les confusions possibles, on va noter par E la courbe elliptique constituée de C avec x₀ comme élément neutre. Alors le groupe Aut(C) s'inserre dans une suite exacte

la dernière flèche envoyant un automorphisme σ sur σ(x₀). Le groupe Aut(E) est en général le groupe cyclique d'ordre 2, et peut être exceptionnellement cyclique d'ordre 4 ou 6. Si le corps est de caractéristique 2 ou 3, ce groupe peut aussi être d'ordre 12 ou 24.

• Si C est de genre g > 1, alors Aut(C) est un groupe fini. Si de plus, le corps de base est caractéristique nulle, alors l'ordre du groupe est borné par 84(g − 1) = 42degK. En caractérisitique positive cette borne linéaire n'est plus valable. Il faut lui substituer une borne polynomiale du type cg⁴ avec une constante explicite c de l'ordre de 14x16.

• Si g > 2 et si C est suffisamment générale, alors Aut(C) est trivial. Plus précisément, il existe un ouvert dense U de l'espace de modules M_g tel que la conclusion ci-dessus tienne pour toute courbe induisant un point dans U.