Densité de probabilité - Définition

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- Introduction - Densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle - Fonction de variables aléatoires à densité - Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

Définition — On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ une fonction $\scriptstyle\ f\$ telle que pour toute partie borélienne $\scriptstyle\ A\subset \mathbb{R}^d,$

Cette définition est en particulier valable pour $\scriptstyle\ d=1,$ et est donc équivalente à la première définition, dans le cas particulier $\scriptstyle\ d=1.$

Il existe une définition (équivalente) en termes d'espérance mathématique :

Théorème — Soit une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , de densité $\scriptstyle\ f,$ et soit $\scriptstyle\ \varphi\$ une fonction borélienne de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}.$ Alors, dès qu'un des deux termes de l'égalite suivante

a un sens, alors l'autre aussi, et l'égalité a lieu. Réciproquement, si l'égalité ci-dessus a lieu pour tout $\scriptstyle\ \varphi\$ borélien borné, alors $\scriptstyle\ f\$ est une densité de $\scriptstyle\ X.$

Il existe des variables aléatoires, réelles ou bien à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , qui ne possèdent pas de densité de probabilité, par exemple les variables aléatoires discrètes. Les variables aléatoires qui possèdent une densité de probabilité sont appelées parfois variables à densité, parfois variables continues.

Si une fonction $\scriptstyle\ f\$ est la densité de probabilité d'une variable aléatoire à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ , cette fonction vérifie les propriétés suivantes

$\scriptstyle\ f\$ est intégrable sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ ;
$\int_{\mathbb{R}^d}f(t)\,dt = 1$ ;
$\scriptstyle\ f\$ est presque sûrement positive ou nulle sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ .

Réciproquement, si une fonction $\scriptstyle\ f\$ vérifie les 3 propriétés ci-dessus, on peut construire une variable aléatoire $\scriptstyle\ X\$ à valeur dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d$ ayant $\scriptstyle\ f\$ pour densité de probabilité.

Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire réelle à densité

Soit $\scriptstyle\ X\$ une variable aléatoire réelle ayant une densité de probabilité $\scriptstyle\ f\$ . D'après le théorème de transfert, $\scriptstyle\ X\$ possède un moment d'ordre $\scriptstyle\ k\$ si et seulement si

on a dans ce cas

En particulier, lorsque le moment d'ordre 2 existe :

et, d'après le théorème de König-Huyghens,

Existence

En vertu du théorème de Radon-Nikodym, le vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z\$ possède une densité si et seulement si, pour chaque borélien $\scriptstyle\ A\$ de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que $\scriptstyle\ Z\$ possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z=(X,Y)\$ possède une densité, alors

$\mathbb{P}\left(X=Y\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(Y=\varphi(X)\right)=0$ ,
$\mathbb{P}\left(\psi(X,Y)=0\right)=0$ ,

pour des fonctions $\scriptstyle\ \varphi\$ et $\scriptstyle\ \psi\$ suffisamment régulières, parce que la mesure de Lebesgue (c'est-à-dire la surface) de la 1^re bissectrice (resp. du cercle unité, du graphe de la fonction $\scriptstyle\ \varphi,$ ou de la courbe d'équation $\scriptstyle\ \psi=0$ ) sont nulles.

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité : par exemple, si

où $\scriptstyle\ \Theta\$ désigne une variable aléatoire à valeur dans $\scriptstyle\ [0,2\pi]\$ (par exemple, si $\scriptstyle\ Z\$ est tiré au hasard uniformément sur le cercle unité, c'est-à-dire si $\scriptstyle\ \Theta\$ suit la loi uniforme sur $\scriptstyle\ [0,2\pi]\$ ), alors $\scriptstyle\ Z\$ ne possède pas de densité car

Cas des variables aléatoires réelles à densité

En spécialisant à d=1, on note que, parmi les boréliens $\scriptstyle\ A\$ de $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ dont la mesure de Lebesgue est nulle, figurent en particulier les parties finies de $\scriptstyle\ \mathbb{R}.\$ Donc une variable aléatoire réelle X à densité vérifie, en particulier :

pour tout nombre réel x, et, par conséquent,

Il suit que les variables aléatoires réelles à densité ont nécessairement une fonction de répartition continue sur $\scriptstyle\ \mathbb{R}.\$ La continuité de la fonction de répartition n'est pas, toutefois, une propriété caractéristique des variables aléatoires réelles à densité, comme le montre l'exemple de l'escalier de Cantor.

Non-unicité de la densité de probabilité

Si $\scriptstyle\ f\$ et $\scriptstyle\ g\$ sont deux densités de probabilités de la même variable aléatoire $\scriptstyle\ X,$ alors $\scriptstyle\ f\$ et $\scriptstyle\ g\$ sont égales presque partout. Réciproquement, si g est presque partout égale à une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X,$ alors g est une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X.$ Ainsi une variable aléatoire à densité possède-t-elle toujours une infinité de densités de probabilité : par exemple, en perturbant l'une des densités de $\scriptstyle\ X\$ de manière arbitraire en un nombre fini de points, on obtient encore une densité de $\scriptstyle\ X.$

Densité jointe de plusieurs variables aléatoires réelles

La fonction $\scriptstyle\ g\$ définie de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ est une densité jointe de la suite de variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ \left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right)\$ si $\scriptstyle\ g\$ est une densité de probabilité du vecteur aléatoire $\scriptstyle\ Z\$ à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d,$ défini par

On peut alors calculer la probabilité d'événements concernant les variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ \left(Z_1,Z_2,\dots,Z_d\right)\$ de la manière suivante :

Exemple :

Si $\scriptstyle\ d=2,$ $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z_2\le Z_1)\$ s'écrit $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z\in A),$ où $\scriptstyle\ A\$ désigne le demi-plan sous la première bissectrice $\scriptstyle\ A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,|\,y\le x\}.$ On a alors, par définition de la densité,

\begin{align} \mathbb{P}(Z_2\le Z_1) &= \int_A\,g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2, \\ &= \int_{\mathbb{R}^2}\,1_A(z_1,z_2)g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2, \\ &= \int_{\mathbb{R}^2}\,1_{z_2\le z_1}g(z_1,z_2)dz_1\,dz_2. \end{align}

Si par exemple $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2\$ sont indépendants et ont même densité de probabilité $\scriptstyle\ f,$ alors une densité de $\scriptstyle\ Z\$ est $\scriptstyle\ g=f\otimes f\$ , c'est-à-dire une densité de $\scriptstyle\ Z\$ est $\scriptstyle\ g\$ défini par $\scriptstyle\ g(z_1,z_2)=f(z_1)f(z_2)\$ . En ce cas,

\begin{align} \mathbb{P}(Z_2\le Z_1) &= \int_{\mathbb{R}^2}\,1_{z_2\le z_1}f(z_1)f(z_2)dz_1\,dz_2, \\ &= \int_{\mathbb{R}}\,\left(\int_{-\infty}^{z_1}f(z_2)\,dz_2\right)f(z_1)dz_1, \\ &= \int_{\mathbb{R}}F(z_1)f(z_1)dz_1 \\ &= \frac12\left[F^2\right]_{-\infty}^{+\infty}=\frac12. \end{align}

Si par contre $\scriptstyle\ Z_2=Z_1\$ p.s., le vecteur $\scriptstyle\ (Z_1,Z_2)\$ a les mêmes lois marginales ( $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2\$ ont $\scriptstyle\ f\$ pour densité de probabilité), mais n'a pas la même loi jointe, puisqu'alors $\scriptstyle\ \mathbb{P}(Z_2\le Z_1)=1.$ Ainsi la donnée des densités marginales de $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ seules, ne permet pas de calculer la probabilité d'événements faisant intervenir à la fois $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ comme par exemple l'évènement $\scriptstyle\ \{Z_2\le Z_1\}.$ Pour effectuer le calcul, on utilise ordinairement la loi jointe de $\scriptstyle\ Z_1\$ et $\scriptstyle\ Z_2,$ définie dans le cas ci-dessus par leur densité jointe.

Densité marginale

Soit $\scriptstyle\ Z\$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}^2\$ de densité $\scriptstyle\ f_Z\$ et pour $\scriptstyle\ \omega\in\Omega,$ soit $\scriptstyle\ X(\omega)\$ et $\scriptstyle\ Y(\omega)\$ les deux coordonnées de $\scriptstyle\ Z(\omega)\$ . On notera

Alors

Propriété — Les variables aléatoires réelles $\scriptstyle\ X\$ et $\scriptstyle\ Y\$ possèdent toutes deux des densités, notons les $\scriptstyle\ f_X\$ et $\scriptstyle\ f_Y\$ , et ces densités sont données par

\begin{align}f_X(x)&= \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy,\\f_Y(y)&= \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dx.\end{align}

Les densités de probabilités $\scriptstyle\ f_X\$ et $\scriptstyle\ f_Y\$ sont appelées les densités marginales de $\scriptstyle\ f_Z.$

Calculons $\scriptstyle\ \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right],$ où $\scriptstyle\ \varphi\$ est une fonction borélienne bornée. Pour cela on peut voir $\scriptstyle\ \varphi(X)\$ comme une fonction de $\scriptstyle\ Z,$ disons $\scriptstyle\ \psi(Z),$ où $\scriptstyle\ \psi=\varphi\circ\text{pr}_1\$ et $\scriptstyle\ \text{pr}_1\$ désigne la projection sur la première coordonnée. Alors

\begin{align} \mathbb{E}\left[\varphi(X)\right] &= \mathbb{E}\left[\psi(Z)\right] \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\ \psi(z)\,f_Z(z)\,dz \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\ \psi(x,y)\,f_Z(x,y)\,dx\,dy \\ &=\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\ \psi(x,y)\,f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}\left(\int_{\mathbb{R}}\ \varphi(x)\,f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx \\ &=\int_{\mathbb{R}}\varphi(x)\,\left(\int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy\right)\,dx. \end{align}

Cela a lieu pour tout $\scriptstyle\ \varphi\$ borélien borné, car $\scriptstyle\ \psi(Z)=\varphi(X)\$ est borné donc intégrable, et $\scriptstyle\ \mathbb{E}\left[\psi(Z)\right]\$ est donc bien défini. En comparant le premier et le dernier terme de la série d'égalités ci-dessus, on voit que la marginale $\scriptstyle\ \int_{\mathbb{R}}\ f_Z(x,y)\,dy\$ satisfait la condition requise pour être une densité de probabilité de $\scriptstyle\ X.$ CQFD

Le cas de $\scriptstyle\ Y\$ peut être traité de la même manière.

Plus généralement, si $\scriptstyle\ f\$ définie de $\scriptstyle\ \mathbb{R}^d\$ dans $\scriptstyle\ \mathbb{R}\$ est une densité jointe de :

on peut calculer une densité $\scriptstyle\ g\$ de (par exemple) $\scriptstyle\ Y=\left(Z_2,Z_5,Z_6\right)\$ de la manière suivante (si $\scriptstyle\ d=8,$ par exemple) :

c'est-à-dire en intégrant par rapport à toutes les coordonnées qui ne figurent pas dans le triplet $\scriptstyle\ Y.$ La fonction $\scriptstyle\ g\$ est elle aussi appelée « densité marginale » ou « marginale » de $\scriptstyle\ f.$ Une formulation générale serait lourde. La démonstration générale est calquée sur la démonstration de la propriété ci-dessus.

Densité de la médiane de 9 variables i.i.d. (ter) :

La densité jointe des 9 statistiques d'ordre, notées ici $\scriptstyle\ (Z_i)_{1\le i\le 9},$ de l'échantillon $\scriptstyle\ (X_i)_{1\le i\le 9},$ est donnée par :

Par définition des statistiques d'ordre, la médiane $\scriptstyle\ M\$ est aussi la 5-ème statistique d'ordre, $\scriptstyle\ Z_5.$ On a donc :

Ainsi, de proche en proche,

\begin{align} \int_{\mathbb{R}}g(z)dz_1 &= 9!\ F(z_2)\ \prod_{i=2}^9 f(z_i)\ 1_{z_2<z_3<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^2}g(z)dz_1\,dz_2 &= \frac{9!}{2!}\ F(z_3)^2\ \prod_{i=3}^9 f(z_i)\ 1_{z_3<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^4}g(z)dz_1\,dz_2\,dz_3\,dz_4 &= \frac{9!}{4!}\ F(z_5)^4\ \prod_{i=5}^9 f(z_i)\ 1_{z_5<\dots<z_9}, \\ \int_{\mathbb{R}^4}g(z)dz_1\,dz_2\,dz_3\,dz_4\,dz_9 &= \frac{9!}{4!1!}\ F(z_5)^4\ \left(1-F(z_8)\right)\ \prod_{i=5}^8 f(z_i)\ 1_{z_5<\dots<z_8}, \\ f_M(z_5) &= \frac{9!}{4!4!}F(z_5)^4\left(1-F(z_5)\right)^4f(z_5). \end{align}

Indépendance des variables aléatoires à densité

Soit une suite $\scriptstyle\ X=(X_1, X_2, \dots,X_n)$ de variables aléatoires réelles définies sur le même espace de probabilité $\scriptstyle\ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}).\$

Théorème —

Si $\scriptstyle\ X\$ possède une densité de probabilité $\scriptstyle\ f:\R^n\rightarrow [0,+\infty[\$ qui s'écrit sous forme « produit » :

où les fonctions

sont boréliennes et positives ou nulles, alors

est une suite de variables indépendantes. De plus, la fonction

définie par

est une densité de la composante

Réciproquement, si $\scriptstyle\ X\$ est une suite de variables aléatoires réelles indépendantes de densités de probabilité respectives $\scriptstyle\ f_i,\$ alors $\scriptstyle\ X\$ possède une densité de probabilité, et la fonction $\scriptstyle\ f\$ définie par

est une densité de probabilité de

Sens direct

Comme la densité $\scriptstyle\ f\$ est sous forme produit, on a

\begin{align} 1 &= \int_{\R^2}f(x_1,x_2) \, dx_1 \, dx_2\\ &=\left(\int g_1(x_1)\, dx_1\right) \, \left(\int g_2(x_2) \, dx_2\right) \end{align}

et par suite

\begin{align} f(x_1,x_2) &= g_1(x_1)\, g_2(x_2) \\ &= \frac{g_1(x_{1})}{\int_{\R}g_1(u)du}\ \frac{g_2(x_{2})}{\int_{\R}g_2(v)dv}\\ &= f_1(x_1) \,f_{2}(x_2). \end{align}

Par construction les fonctions $\scriptstyle\ f_i\$ sont d'intégrale 1, donc

\begin{align} \int_{\R} f(x_1,x_2) dx_2 &= f_1(x_1), \\ \int_{\R} f(x_1,x_2) dx_1 &= f_2(x_2). \end{align}

Ainsi les fonctions $\scriptstyle\ f_i\$ sont les densités de probabilités marginales des deux composantes de $\scriptstyle\ X.\$ Par suite, pour tout couple de fonctions $\scriptstyle\ \varphi\$ et $\scriptstyle\ \psi\$ tel que le premier terme ci-dessous ait un sens, on a

\begin{align} \operatorname{E}[\varphi(X_1)\psi(X_2)] &= \int \int \varphi(x_1)\psi(x_2)f(x_1,x_2) \, dx_1 \, dx_2\\ &= \int \int \varphi(x_1)f_1(x_1)\psi(x_2)f_2(x_2) \, dx_1 \, dx_2\\ &= \int \varphi(x_1)f_1(x_1) \, dx_1 \int \psi(x_2)f_{2}(x_2) \, dx_2\\ &= \operatorname{E}[\varphi(X_1)] \operatorname{E}[\psi(X_2)]\end{align}

ce qui entraine l'indépendance des variables $\scriptstyle\ X_{1}\$ et $\scriptstyle\ X_{2}.\$

Sens réciproque

Il suffit de montrer que

où $\scriptstyle\ \mathbb{P}_{X}\$ est la loi de $\scriptstyle\ X,\$ et où $\scriptstyle\ \mu\$ est la mesure ayant pour densité $\scriptstyle\ (x_1,x_2)\rightarrow f_1(x_1)f_{2}(x_2).\$ Or

où $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$ est la classe des pavés boréliens :

En effet

\begin{align} \mathbb{P}_{X}(A_1\times A_2) &= \mathbb{P}(X_1\in A_1\text{ et }X_2\in A_2)\\ &= \mathbb{P}(X_1\in A_1)\mathbb{P}(X_2\in A_2)\\ &= \left(\int_{\R} 1_{A_1}(x_1)f_1(x_1) \, dx_1\right)\left(\int_{\R} 1_{A_2}(x_2)f_2(x_2) \, dx_2\right)\\ &= \int_{\R^2} 1_{A_1\times A_2}(x_1,x_2)f_1(x_1)f_2(x_2) \, dx_1 \, dx_2\\ &= \mu(A_1\times A_2)\end{align}.

On remarque alors que $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$ est un π-système et que la tribu engendrée par $\scriptstyle\ \mathcal{C}\$ est $\scriptstyle\ \mathcal{B}(\R^2),\$ donc, en vertu du lemme d'unicité des mesures de probabilités,

Fonction de variables aléatoires à densité

- Introduction - Densité de probabilité d'une variable aléatoire réelle - Fonction de variables aléatoires à densité - Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire

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