Éléments d'Euclide - Définition

Postérité

Le succès des Éléments est dû principalement à la présentation logique de la quasi-totalité du savoir mathématique dont Euclide disposait. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.

Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Certains mathématiciens (Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.

Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du XIX^e siècle, il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non-euclidiennes cohérentes en prenant sa négation.

Livres

Les Éléments sont organisés comme suit :

• Les livres I à IV traitent de géométrie plane :
  • Le livre I énonce les propriétés de base de la géométrie : théorème de Pythagore, égalités angulaires et d'aires et parallélisme, somme des angles du triangle, les trois cas d'égalité des triangles.
  • Le livre II est couramment nommé livre de l'algèbre géométrique, parce qu'il est un livre de géométrie facile à interpréter comme de l'algèbre, ce qu'il n'est pas exactement mais il a été compris et utilisé en mathématiques arabes pour l'algèbre. En particulier, les théorèmes qu'il énonce correspondent en grande partie à nos identités remarquables. Un cas particulier d'un problème correspondant à une équation du second degré est également donné.
  • Le livre III traite du cercle et de ses propriétés : angle inscrit, puissance d'un point, tangente.
  • Le livre IV s'occupe de l'inscription et de la circonscription de triangles ou de polygones réguliers dans le cercle.

• Les livres V à X font intervenir les proportions :
  • Le livre V est le traité des proportions de grandeurs.
  • Le livre VI est celui de l'application des proportions à la géométrie : théorème de Thalès, figures semblables.
  • Le livre VII est consacré à l'arithmétique : divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM.
  • Le livre VIII traite de l'arithmétique des proportions et des suites géométriques.
  • Le livre IX applique les précédents : infinité des nombres premiers, somme d'une suite géométrique, nombres parfaits.
  • Le livre X est une tentative de classification des grandeurs irrationnelles. L'irrationalité de y est démontrée.

• Les livres XI à XIII traitent de géométrie dans l'espace :
  • Le livre XI généralise dans l'espace les livres I à VI : perpendicularité, parallélisme, volumes de parallélépipèdes.
  • Le livre XII compare ou calcule des aires et volumes en utilisant la méthode d'exhaustion : disque, cônes, pyramides, cylindres et sphère.
  • Le livre XIII est la généralisation du livre IV dans l'espace : section dorée, les cinq polyèdres réguliers inscrits dans une sphère.

Il existe deux livres apocryphes, présents en annexe dans la traduction de Heath.