Équation du second degré - Définition

Autres méthodes de résolution

Racines évidentes

Les relations entre les coefficients et racines permettent parfois une accélération dans la résolution. Considérons l'équation précédente, le terme √5 joue un rôle singulier. Il est tentant de calculer son image par le polynôme définissant l'équation. Une solution trouvée à l'aide de cette méthode, c'est-à-dire consistant à choisir une valeur au hasard et à vérifier que son image par le polynôme est nulle est appelée racine évidente.

Une fois la première solution connue, les relations entre coefficients et racines permettent aisément de trouver la seconde. Dans l'exemple proposé, le plus simple est de remarquer que le produit des racines, égal à c/a est ici égal à 1. La deuxième racine est donc 1/√5, ce que l'on écrit plutôt √5/5.

La méthode de la racine évidente permet de résoudre plus simplement une équation de degré plus élevé, comme l'exemple suivant :

Plusieurs méthodes sont possibles pour en venir à bout. Celle de Cardan possède l'avantage d'être sûr, mais demande une maîtrise des nombres complexes et impose de longs calculs. La méthode des racines évidentes est beaucoup plus rapide. On tente traditionnellement les valeurs 0, ±1 et ±2. Dans le cas présent, -2 est une racine. Cela signifie que le polynôme x + 2 divise celui définissant l'équation. Trouver le deuxième facteur n'est pas trop ardu. C'est un polynôme du second degré, car seul un polynôme du second degré, multiplié par (x + 2) est du troisième degré. Si a.x² + b.x + c est le deuxième facteur, on calcule le produit :

On en déduit a = 1, c = -1 puis b = -2. Il reste encore à résoudre l'équation :

Pour une rédaction plus concise, on peut toujours prétendre que 1 + √2 est une racine évidente. Comme la somme des racines du polynôme du second degré est égale à 2, la deuxième racine est égale à 1 - √2.

Méthode géométrique

Les premières méthodes pour résoudre une équation du second degré sont géométriques. Même sans connaître les rudiments d'algèbre, il est possible de résoudre des équations du second degré. Les Grecs utilisaient la méthode suivante, pour résoudre ce qu'en langage contemporain on formaliserait par l'équation :

On considère que les deux termes, de droite et de gauche désignent des surfaces. Le terme x² désigne l'aire d'un carré de côté x et 10.x désigne l'aire de deux rectangles de côtés 5 et x. On organise le carré et les deux rectangles de la manière indiquée sur la figure de droite, les deux rectangles sont dessinés en gris et le carré correspond au plus petit des deux et contenant le symbole x² en son milieu.

Cette surface, que l'on appelle un gnomon prend la forme d'un carré si l'on y ajoute un nouveau carré de côté 5, car on obtient alors un carré plus vaste, contenant à la fois les deux rectangles et le carré de côté x. Le carré de côté x et les deux rectangles possèdent une aire de 39, on a ajouté un carré d'aire 25, on obtient un grand carré d'aire 64. En termes algébriques, cette considération graphique s'écrit :

Le grand carré est d'aire 64, son côté est donc de longueur 8. Or ce côté est, par construction, égal à 5 + x. En termes algébriques, cela revient à appliquer une identité remarquable, on obtient :

On en déduit la solution x = 3. L'algèbre propose aussi une autre solution : -13. Pour les Grecs, cette autre solution n'a aucun sens, x représente le côté d'un carré, c'est-à-dire une longueur. Or une longueur est toujours positive.

D'autres solutions géométriques sont proposées dans les articles Inconnue (mathématiques) et Nombre d'or.

Par les relations entre coefficients et racines

Une autre méthode, à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, permet de trouver les solutions. On suppose que l'équation admet un discriminant positif et on note s la somme des solutions et p leur produit. En divisant l'équation par le facteur a, qui n'est pas nul par définition, on obtient l'expression :

Soit m la valeur moyenne des deux solutions, c'est-à-dire l'abscisse de l'extremum de la parabole. Si h est la demi-distance entre les solutions et si x₁ et x₂ désignent les deux racines, on obtient les égalités :

La somme des deux racines est égale à s et aussi à 2.m, ce qui donne la valeur de m = s/2. Le produit des deux racines et une identité remarquable montrent que m² - h² = p. Une autre manière d'écrire cette égalité est h² = m² - p. Comme le discriminant est positif par hypothèse, le terme de droite est positif. On obtient les valeurs des racines :

En remplaçant s et p par leurs valeurs, calculées à l'aide des relations entre les coefficients et les racines, on retrouve les formules classiques.