Faisceau gaussien - Définition
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Introduction
En optique, un faisceau gaussien est une solution particulière de l'équation de propagation de Helmholtz (au même titre qu'une onde plane) dans le cadre de l'approximation paraxiale. Ce modèle produit une meilleure description de rayonnements cohérents comme les faisceaux lasers bien qu'il soit incomplet dans le traitement de la diffraction.
Plus spécifiquement, un faisceau gaussien est un faisceau dont l'évolution du profil transversal d'amplitude en fonction de la propagation spatiale est proportionnel à une fonction gaussienne, par exemple une fonction de Gauss-Hermite.
Définitions d'un faisceau Gaussien
Il existe plusieurs façons de définir un faisceau Gaussien. Historiquement, les faisceaux Gaussiens ont été utilisés en optique comme une solution de l'équation de propagation dans le cadre de l'approximation paraxiale. L'approximation paraxiale suppose une faible divergence du faisceau par rapport à son axe de propagation. L'angle de divergence maximal généralement admis est de l'ordre de 20 degrés.
D'autres approches provenant de l'électromagnétisme permettent d'obtenir une formulation de faisceaux Gaussiens. Ainsi, on peut définir les faisceaux gaussiens monomodes et multimodes comme étant un cas particulier dans l'approximation paraxiale d'un ou plusieurs point source complexe.
Une autre solution peut consister à étendre le formalisme des rayons de l'optique géométrique aux rayons complexes, c'est-à-dire à des rayons dont la position, la direction et la matrice de courbure peuvent être complexes.
Enfin, on peut également définir un faisceau Gaussien à partir de sa représentation spectrale. En définissant un champ dont l'amplitude est Gaussienne sur un plan, on peut exprimer en utilisant un spectre d'ondes planes de cette distribution d'amplitude le champ propagé en un point quelconque.
Paramètres du faisceau
La géométrie et le comportement d'un faisceau gaussien dépend de divers paramètres que l'on va définir ci-dessous.
Largeur de Faisceau
Pour un faisceau gaussien se propageant dans le vide, la largeur du faisceau
Où l'origine de l'axe z est définie, sans perte de généralité, comme le point d'origine et:
C'est ce qu'on appelle la portée de Rayleigh ou la profondeur de champ.
Portée de Rayleigh et paramètre confocal
À une distance de l'origine égale à z0, la largeur du faisceau w est:
La distance en + et - z0 est appelé le paramètre confocal:
Rayon de courbure
R(z) est le rayon de courbure du front d'onde du faisceau. Sa valeur est une fonction de la position comme:
![R(z) = z \left[{ 1+ {\left( \frac{z_0}{z} \right)}^2 } \right] \ .](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/2b538c79cf44abafe7271702b9293ea1_1a089e8ab0932aeedf3d1f713dca6f06.png)
Divergence du faisceau
Le paramètre w(z) s'approche d'une ligne droite pour
L'angle d'ouverture du faisceau depuis son origine est donc:
- Cette propriété d'un faisceau gaussien rend un faisceau laser très évasé si à son origine il a un diamètre très petit. Pour qu'il reste constant sur une grande distance, il faut donc que ce faisceau soit de grand diamètre à son origine.
- Comme le modèle gaussien utilise une approximation paraxiale, il ne s'applique plus lorsque l'on regarde en un point où le front d'onde fait plus de 30° avec la direction de propagation. À partir de la définition de la divergence, ceci veut dire que le modèle gaussien n'est valide que pour un faisceau avec une largeur à l'origine de plus que 2λ/π.
- La qualité d'un faisceau est calculée par le produit de sa divergence et de sa largeur à l'origine. Ce nombre obtenu sur un faisceau réel est comparé à celui d'un faisceau idéal gaussien de même longueur d'onde. Le rapport de ces deux nombres est appelé le M² et doit tendre vers 1 idéalement.
Phase de Gouy
Le délais longitudinal de la phase de l'onde ou Phase de Gouy du faisceau est:
Paramètre complexe du faisceau
Comme le champ électrique comporte une partie imaginaire:
Qu'on calcule souvent comme:
Le Z complexe obtenu joue un rôle crucial dans l'analyse des propriétés du faisceau gaussien, spécialement dans celle des cavités résonantes et les matrices de transfert de rayonnement.
