Formulaire de relativité restreinte

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Les notations

Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’, x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.

On suppose que les origines du temps coïncident à

t = t^{'} = 0

On pose :

β = v / c

Le paramètre angulaire

Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :

$β = tanh θ$ soit $θ = atanh β$

À l'aide de ce paramètre on peut écrire :

γ = (1 - β^{2})^{- 1/2} = (1 - tanh^{2} θ)^{- 1/2} = cosh θ

β γ = β (1 - β^{2})^{- 1/2} = tanh θ cosh θ = sinh θ

L'invariant de la relativité restreinte

La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées

c^{2} τ^{2} = c^{2} t^{2} - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = c^{2} t^{'2} - (x^{'2} + y^{'2} + z^{'2})

et définit le temps propre $τ .$

Les transformations de Lorentz

{c t = γ (c t^{'} + β x^{'}) x = γ (x^{'} + β c t^{'}) y = y^{'} z = z^{'}

ce qui donne sous forme matricielle (plus facile à visualiser):

\begin{pmatrix} ct\x\y\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & \beta\gamma & 0 & 0\ \beta\gamma & \gamma & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 0 & 1\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct'\x'\y'\z' \end{pmatrix}

En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on obtient des expressions analogues aux formules de changement d'axes de coordonnées par rotation plane :

{c t = c t^{'} cosh θ + x^{'} sinh θ x = c t^{'} sinh θ + x^{'} cosh θ

En sens inverse

{c t^{'} = γ (c t - β x) x^{'} = γ (x - β c t) y^{'} = y z^{'} = z

⎩ ⎨ ⎧ c t^{'} = c t cosh θ - x sinh θ x^{'} = - c t sinh θ + x cosh θ

La dilatation du temps

Si l'horloge de la fusée mesure la durée $Δ t^{'}$ entre deux événements se produisant dans cette fusée, donc séparés par une distance spatiale $Δ x^{'} = 0$ , la durée mesurée dans le laboratoire fixe de la Terre est

Δ t = Δ t^{'} cosh θ = γ Δ t^{'} = \frac{Δ t ^{'}}{1 - ( v ^{2} / c ^{2} )} .

La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.

La contraction des longueurs

Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à $Δ t = 0$ , est donnée par

L = L^{'} / γ = L^{'} 1 - (v^{2} / c^{2}) .

La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.

Loi de composition des vitesses

Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est

w = \frac{w ^{'} + v}{1 + ( w ^{'} v / c ^{2} )} .

En utilisant les paramètres angulaires

α^{'} = atanh (w^{'} / c)

α = atanh (w / c)

θ = atanh (v / c)

on a la loi additive

α = α^{'} + θ

Le quadrivecteur énergie-impulsion

{p_{t} = E / c = m c d t / d τ p_{x} = m d x / d τ p_{y} = m d y / d τ p_{z} = m d z / d τ .

Comme

d t / d τ = γ \equiv (1 - β^{2})^{- 1/2},

on a

E = γ m c^{2}

p \equiv (p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2})^{1/2} = mγ β c = m v / 1 - (v^{2} / c^{2})

Aux faibles vitesses $v ≪ c$

E = m c^{2} + (1/2) m v^{2} .

On a toujours la relation

p = β E / c .

La quantité suivante est invariante dans un changement de repère

E^{2} - p^{2} c^{2} = m^{2} c^{4}

Pour un photon, m = 0 et

E = p c

Énergie cinétique

L'énergie cinétique d'une particule est

K = E - m c^{2} = m c^{2} (\frac{1}{1 - ( v ^{2} / c ^{2} )} - 1) .

Pour $v ≪ c$

K = (1/2) m v^{2}

et pour $v ≃ c$

K ≃ E ≃ p c = \frac{m c ^{2}}{2 ( 1 - β )} \equiv \frac{m c ^{2}}{2 [ 1 - ( v / c )]} .

Formules de changement de repère

Ce sont les formules de Lorentz

{E / c = γ (E^{'} / c + β p_{x}^{'}) p_{x} = γ (β E^{'} / c + p_{x}^{'}) p_{y} = p_{y}^{'} p_{z} = p_{z}^{'}

{E / c = (E^{'} / c) cosh θ + p_{x}^{'} sinh θ p_{x} = (E^{'} / c) sinh θ + p_{x}^{'} cosh θ p_{y} = p_{y}^{'} p_{z} = p_{z}^{'}

Transformations inverses

{E^{'} / c = γ (E / c - β p_{x}) p_{x}^{'} = γ (- β E / c + p_{x}) p_{y}^{'} = p_{y} p_{z}^{'} = p_{z}

{E^{'} / c = (E / c) cosh θ - p_{x} sinh θ p_{x}^{'} = - (E / c) sinh θ + p_{x} cosh θ p_{y}^{'} = p_{y} p_{z}^{'} = p_{z}

Effet Doppler-Fizeau

$ν$ étant la fréquence reçue sur Terre, $ν^{'}$ la fréquence émise par la source, $θ^{'}$ l'angle que fait le photon avec l'axe Ox dans le repère de cette source, $θ$ l'angle avec l'axe Ox dans le repère terrestre, $v$ la vitesse de la source par rapport à la Terre et $v_{r} \equiv v cos θ^{'}$ la vitesse radiale, on a

ν = γ (1 + β cos θ^{'}) ν^{'} \equiv \frac{1 + ( v _{r} / c )}{1 - ( v ^{2} / c ^{2} )} ν^{'}

Aux faible vitesses $v ≪ c$

\frac{Δ ν}{ν} \equiv \frac{ν - ν ^{'}}{ν ^{'}} ≃ \frac{ν - ν ^{'}}{ν} = \frac{v _{r}}{c} .

Si l'étoile s'éloigne, v est positif, cosθ' est négatif, $v_{r} = v cos θ^{'}$ est négatif, de sorte que la fréquence diminue (la longueur d'onde augmente, c'est le décalage vers le rouge).

Phénomène d'aberration de la lumière :

{cos θ = (β + cos θ^{'}) / (1 + β cos θ^{'}) sin θ = γ^{- 1} sin θ^{'} / (1 + β cos θ^{'})