Formulaire de relativité restreinte - Définition
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Introduction
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| Optique |
| Électro- Magnéstatique |
| Physique quantique |
| Thermodynamique |
| Mécanique des fluides |
| Mécanique |
| Relativité restreinte |
| Trou noir |
| Analyse vectorielle |
Les notations
Les formules établissent le passage entre les coordonnées (t, x ) d'un événement dans le repère inertiel fixe, disons celui de la Terre, et les coordonnées (t ’, x ’ ) du même événement dans le repère mobile, disons de la fusée, laquelle se déplace le long de l'axe des x avec la vitesse v.
On suppose que les origines du temps coïncident à
On pose :
L'invariant de la relativité restreinte
La quantité suivante est invariante dans un changement de coordonnées
et définit le temps propre
Le paramètre angulaire
Pour simplifier les formules il est utile d'introduire le paramètre angulaire défini par les formules suivantes :
-
À l'aide de ce paramètre on peut écrire :
La dilatation du temps
Si l'horloge de la fusée mesure la durée
La durée mesurée dans un repère extérieur est toujours plus grande que la durée propre.
Les transformations de Lorentz
ce qui donne sous forme matricielle (plus facile à visualiser):
En utilisant les fonctions hyperboliques de l'angle θ, on obtient des expressions analogues aux formules de changement d'axes de coordonnées par rotation plane :
ou
Loi de composition des vitesses
Un obus est tiré dans la fusée avec une vitesse w ’ par rapport au repère de cette fusée, dans la direction du mouvement. La vitesse w de l'obus par rapport à la Terre est
En utilisant les paramètres angulaires
on a la loi additive
La contraction des longueurs
Si la fusée est de longueur L’ dans son propre repère, sa longueur L mesurée par la distance entre les deux points de la Terre en coïncidence avec l'avant et l'arrière de la fusée au même instant (sur Terre), donc correspondant à
La longueur mesurée sur Terre est plus petite que la longueur propre de la fusée.
Énergie cinétique
L'énergie cinétique d'une particule est
Pour
et pour
![K \simeq E \simeq pc = \frac{mc^2}{\sqrt{2(1-\beta)}}\equiv \frac{mc^2}{\sqrt{2[1-(v/c)]}}\,.](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/a/acc25fffc50d7155b19484633067d1eb_ae3ee2ea8d8dfdb151e7d0df9fdb0fcd.png)
Le quadrivecteur énergie-impulsion
Comme
on a
Aux faibles vitesses
On a toujours la relation
La quantité suivante est invariante dans un changement de repère
Pour un photon, m = 0 et
Effet Doppler-Fizeau
Aux faible vitesses
Si l'étoile s'éloigne, v est positif, cosθ' est négatif,
Phénomène d'aberration de la lumière :
