Gustave Choquet - Définition

Travaux

Les travaux de Gustave Choquet sont marqués par une vision directe et géométrique des problèmes, et atteignent souvent à une suprême élégance. Il a manifesté une prédilection pour les problèmes clefs, problèmes qu’il a su reformuler dans le cadre le plus général possible et qui l’ont amené à la création de concepts dont l’impact a été considérable. Il a abordé de nombreux domaines : topologie générale, fonctions de variables réelles, théorie de la mesure, théorie du potentiel, analyse fonctionnelle convexe et ses applications, théorie des nombres.

La thèse de Gustave Choquet est consacrée aux propriétés de differentiabilité des sous-ensembles des espaces Euclidiens. C’est un domaine qui n’est plus à la mode, car les êtres que l’on étudie aujourd’hui sont soit très réguliers, comme les variétés différentiables, ou très généraux, comme les espaces compacts. Choquet résout plusieurs problèmes célèbres à l’époque en découvrant précisément des liens très profonds entre les structures différentiables et topologiques. Le résultat le plus connu de cette thèse, qui impressionna beaucoup, est la caractérisation des fonctions dérivées. Une fonction est, à un changement de variable continu près, une fonction dérivée si et seulement si elle est de première classe de Baire et si l’image de tout intervalle par cette fonction est un intervalle.

A l'occasion de la rédaction de sa thèse, Gustave Choquet invente un énoncé très général (le théorème du Contingent-Paratingent) qui recouvre de multiples énoncés antérieurs, dont certains très profonds. Cette découverte modifie profondément sa conception de la recherche mathématique, le menant vers une philosophie qu'il explique dans sa remarquable notice

Distinctions

Gustave Choquet a reçu :

• le Prix Pécot du Collège de France.
• Il a reçu les Prix Houllevigue (1946), Dickson (1951), Carrière (1956) et le Grand Prix des sciences mathématiques (1968) de l’Académie des sciences, où il a été élu Membre le 29 novembre 1976 dans la section Mathématiques.

Théories

Un objet central de la théorie du potentiel est la capacité Newtonienne, définie pour un compact comme la plus grande charge électrique qu’il peut porter et qui ne crée en tout point qu’un potentiel au plus égal à 1. À partir de la capacité des compacts, on peut définir celle des ouverts, puis pour tout ensemble ses capacités extérieures et intérieures, comme on le fait en théorie de la mesure. En 1950 un problème central, celui de la capacitabilité des ensembles boréliens, est de savoir si pour ceux-ci les capacités extérieures et intérieures coïncident. Les propriétés de la capacité Newtonienne sont très différentes de celles d’une mesure. Fidèle à la philosophie qu’il a décrite, Gustave Choquet recherche dans un cadre très général pour quelles fonctions d’ensembles il serait concevable d’avoir un théorème de capacitabilité. Il découvre qu’il serait bien pratique que cette fonction d’ensemble vérifie certaines inégalités. Ces inégalités ne sont pas connues pour la capacité Newtonienne. Il les démontre, vérifiant ainsi, selon la terminologie qu’il crée, que cette fonction est une capacité alternée d’ordre infini. Il dira plus tard que cette découverte fut la plus grande émotion de sa carrière scientifique. Il procède ensuite à une investigation systématique des capacités, c'est-à-dire des fonctions croissantes d’ensembles ayant diverses propriétés permettant de démontrer un théorème de capacitabilité. La théorie des capacités qu’il construit ainsi est en un sens l’extension naturelle de la théorie de la mesure, et demeure d’une étonnante jeunesse. Elle a reçu de multiples applications, à la théorie de la mesure, à la théorie des processus stochastiques et à certains modèles d’économie qui utilisent de façon centrale la notion qu’ils appellent ‘Choquet expected utility’, une extension de la notion d’intégrale basée sur les capacités alternées d’ordre infini.

Voulant décrire toutes les capacités alternées d’ordre infini sur un ensemble compact donné, Gustave Choquet découvre qu’elles peuvent être représentées comme mélanges d’éléments simples, ceux qui sont des points extrémaux, et qui dans ce cas précis ont une structure particulièrement agréable. Il s’attaque alors au problème général, de savoir si dans un convexe compact d’un espace vectoriel topologique localement convexe, tout point est nécessairement le barycentre d’une mesure de probabilité portée par les points extrémaux, ce que l’on appelle maintenant la représentation intégrale. Il réalise l’importance de considérer les ensembles compacts comme des bases de cônes convexes, et introduit une classe importante de convexes, ceux dont le cône associé est réticulé, et qui généralisent triangles et tétraèdres. Pour cette classe la représentation intégrale est nécessairement unique, ce sont les célèbres simplexes de Choquet. Il obtient l’existence de la représentation intégrale dans le cas métrisable en 1956. La grande variété d’application de ces résultats (en théorie ergodique, algèbres d’opérateurs, processus stochastiques, théorie du potentiel, analyse harmonique) leur ont assuré un retentissement considérable, et plusieurs livres leur sont consacrés.

Gustave Choquet a élargi l’idée de représentation intégrale du cadre des ensembles convexes compacts à celui de cônes convexes beaucoup plus généraux, grâce à la notion de mesure conique ; ces résultats sont exposés, ainsi que la plupart de ses contributions à l’analyse fonctionnelle linéaire dans son ouvrage en trois volumes, Lectures on Analysis chez Benjamin.

Gustave Choquet n’a pas seulement puisé dans la théorie du potentiel l’inspiration qui anime ses meilleurs travaux, il y a apporté des contributions de premier ordre. Ses recherches conduites avec J. Deny sur les noyaux de convolution ont des applications importantes dans la théorie des marches aléatoires sur les groupes ; elles sont elles-mêmes basées sur des idées géométriques et des outils d’analyse fonctionnelle.

Gustave Choquet a marqué l’enseignement de l’analyse mathématique. En 1953, le cours de calcul différentiel et intégral de l’université de Paris est toujours enseigné par l’école « d’analyse à la française », suivant le célèbre traité de Goursat, qui faisait bien peu de part aux mathématiques du XX^e siècle. Quand George Valiron, malade, ne peut plus assurer ce cours, Henri Cartan, conscient du bouleversement qu’il va déclencher, propose Gustave Choquet pour le remplacer à l’automne 1954. Celui-ci modifie résolument le contenu et l’orientation de ce cours, introduisant la construction des nombres réels, les espaces topologiques, les espaces de Hilbert. Le mouvement déclenché fut irrésistible, et rapidement toutes les universités françaises adoptèrent le programme de Gustave Choquet. Les polycopiés de son cours de calcul Différentiel et Intégral, écrits en 1955, sont d’une étonnante modernité. Ils ont été repris dans son cours d’analyse chez Masson qui est toujours utilisé par de nombreux enseignants.