Loi bêta - Définition

Introduction

Beta
Paramètres	α > 0 forme (réel) β > 0 forme (réel)
Support
Densité de probabilité (fonction de masse)
Fonction de répartition
Espérance
Mode	pour α > 1,β > 1
Variance
Asymétrie (statistique)
Kurtosis (non-normalisé)	see text
Entropie	see text
Fonction génératrice des moments
Fonction caractéristique
modifier

Dans la théorie des probabilités et en statistiques, la loi bêta est une famille de lois de probabilités continues, définies sur [0,1], paramétrisée par deux paramètres de forme, typiquement notés α et β. C'est un cas spécial de la distribution de Dirichlet, avec seulement deux paramètres.

Caractérisation

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi bêta est:

où Γ est la fonction gamma. La fonction bêta, B, apparaît comme une constante de normalisation, permettant à la densité de s'intégrer à l'unité.

Fonction de répartition

La fonction de répartition est

où B_x(α,β) est la fonction bêta incomplète et I_x(α,β) est la fonction bêta incomplète régularisée.

Estimation des paramètres

Soit la moyenne empirique

et

la variance. La méthode des moments fournit les estimations suivantes:

Propriétés

Moments

L'espérance et la variance d'une variable aléatoire bêta de paramètres α et β sont donnés par la formule:

L'asymétrie est

Le coefficient d'aplatissement (ou encore kurtosis) est:

Formes

La densité de la loi bêta peut prendre différentes formes selon les valeurs des deux paramètres:

• est en forme de U (graphe rouge);
• ou est strictement décroissant (graphe bleu);
  • est strictement convexe;
  • est une droite;
  • est strictement concave;
• est la loi uniforme continue;
• ou est strictement croissant (graphe vert);
  • est strictement convexe;
  • est une droite;
  • est strictement concave;
• est unimodal (graphes noir et violet).

Qui plus est, si α = β alors la densité est symétrique autour de 1/2 (graphes rouge et violet).

Distributions associées

• Si X a une distribution bêta, alors T=X/(1-X) est distribué selon la distribution bêta du second type;
• La loi Beta(1,1) est identique à la Loi uniforme continue;
• Si X et Y sont indépendamment distribués selon une loi Gamma, de paramètres (α, θ) et (β, θ) respectivement, alors X / (X + Y) est distribué selon une loi Beta(α,β);
• Si selon une loi uniforme, alors .
• La k-ème statistique d'ordre d'un n-échantillon de lois uniformes suit la loi .