Nombre plastique - Définition

Introduction

Le nombre plastique, de symbole ψ (à lire psi), est l'unique solution réelle de l'équation du troisième degré :

ψ³ = 1 + ψ

et qui s'exprime par :

C'est un nombre algébrique irrationnel.

À l'instar du nombre d'or, il est à la base d'un système de proportions qui fait partie d’une méthode générale de conception en Arts plastiques. En ce qui concerne le nombre plastique, ce système a été introduit par Hans van der Laan (1904-1991), moine bénédictin et architecte des Pays-Bas. Il fut également étudié par l’ingénieur polytechnicien français Gérard Cordonnier qui appelle ce nombre nombre radiant.

Le nombre plastique est lié à la suite de Padovan.

Propriétés algébriques

Mathématiquement, le nombre plastique est la seule solution réelle de l'équation , les deux autres solutions étant deux nombres complexes, eux aussi lié à ψ:

et

De l'égalité ψ³ = ψ + 1 se déduisent d'autres égalités démontrables en remplaçant ψ³ par ψ + 1. Parmi celles-ci, on peut citer

ψ⁴ = ψ² + ψ

ψ⁵ = ψ² + ψ + 1

qui sont directement liées au découpage d'un segment imaginé par Gérard Cordonnier.

On peut citer aussi

ψ ^{− 4} = ψ − 1

qui fait de ψ le seul nombre à être, avec le nombre d'or, un nombre morphique. Un nombre morphique est un réel solution conjointe de deux équations de la forme

xⁿ = x + 1 et x ^{− p} = x − 1 où n et p sont des entiers naturels non nuls.

Ce résultat fut démontré en 2001 par Jan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer.

Cette même égalité permet d'exprimer certaines puissances de ψ comme somme infinie de ses puissances négatives:

ou bien comme itération infinie de racines cubiques

Le nombre ψ est la limite de la suite obtenue en prenant le quotient de termes consécutifs dans la suite de Padovan

Les deux derniers quotients fournissent un encadrement de ψ inférieur à 5.10 ^{− 4}

C'est aussi le plus petit nombre de Pisot-Vijayaraghavan.

Propriétés géométriques

Découpage d'un segment selon Gérard Cordonnier

En 1924, Gérard Cordonnier invente une variante de la division d'un segment entre moyenne et extrême raison en imaginant le découpage d'un segment en trois parties définissant 6 sections en progression géométrique. Il démontre que la progression géométrique est de rapport ψ, racine de X³ − X − 1. Il appelle ce nombre "nombre radiant" et en étudie les propriétés tant mathématiques, qu'esthétiques et symboliques. En 1958, il décide d'écrire un livre, Au-delà du nombre d'or: le nombre radian qu'il n'aura jamais le temps de terminer.

Pavés en proportion de ψ

D'après l'architecte et moine Hans van der Laan, les dimensions respectives de deux objets sont perceptibles lorsque la plus grande dimension d'un objet est égale à la somme des deux plus petites dimensions de l'autre. Le principe est de construire une pièce dont les dimensions soient telles que, quand on remplace la plus petite dimension de l'une par la somme des deux plus petites, on obtient alors la plus grande dimension d'une pièce de mêmes proportions que la précédente. Si on appelle les trois dimensions de la pièce, cette condition se traduit mathématiquement par (l₁,l₂,l₃) et (l₂,l₃,l₁ + l₂) sont proportionnels. Soit encore

Si l'on appelle ψ, le rapport , ces égalités se traduisent par

où l'on reconnait en ψ l'unique racine réelle du polynômeX³ − X − 1.

Les dimensions de la pièce en question sont, donc, en rapport de ψ.

L'architecte Padovan, reprenant les calculs de Van der Laan, montre qu'en partant d'un cube et, en remplaçant systématiquement la plus petite des dimensions par la somme des deux plus petites, on obtient, au bout de plusieurs itérations, un pavé dont les dimensions se rapprochent de celles d'un pavé recherché. Il construit à cet effet une suite qui porte son nom.

Cette construction est à rapprocher de celle du rectangle d'or, en dimension 2, et de la suite de Fibonacci. Cette ressemblance fait dire à Ian Stewart que le nombre plastique est le cousin du nombre d'or.