Problème à N corps - Définition

Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

- Introduction - Formulation mathématique - Problème à N corps - Problème à deux corps ou mouvement keplerien - Remarque sur le problème à trois corps

Introduction

Le problème à N corps consiste à résoudre les équations du mouvement de Newton de $N$ corps interagissant gravitationnellement, connaissant leurs masses ainsi que leurs positions et vitesses initiales.

Il s'agit d'un problème mathématique fondamental pour l'astronomie classique, c’est-à-dire dans le cas où les effets de la théorie de la relativité générale d'Einstein peuvent être négligés : vitesses des corps petites devant la vitesse de la lumière dans le vide, et champs de gravitation faibles, ce qui est essentiellement le cas dans le système solaire.

Le problème à N corps se pose également dans le cadre de la relativité générale ; son étude y est encore plus difficile que dans le cadre newtonien.

Formulation mathématique

Le problème à N corps est modélisé par une équation différentielle. Étant donné les valeurs initiales des positions $q j (0)$ et des vitesses $\dot{q}_j(0)$ des N particules ( $j = 1,..., N$ ) avec $q_j(0) \neq q_k(0)$ pour tout j et k distincts, il s'agit de trouver une solution du système du second-ordre

où $m_1,m_2,\ldots ,m_N$ sont des constantes représentant les masses des N particules, et $q_1,q_2,\ldots,q_N$ sont leurs vecteurs position (à trois dimensions) dépendant du temps t. Cette équation est simplement la seconde loi du mouvement de Newton ; le terme de gauche est le produit de l'accélération de la particule et de sa masse, tandis que le terme de droite est la somme des forces qui s'exercent sur la particule. Ces forces sont des forces gravitationnelles, proportionnelles aux masses concernées et variant proportionnellement à l'inverse du carré de la distance de ces masses. Puisqu'il faut tenir compte de la direction de ces forces, il faut insérer un $q j - q k$ au numérateur et le compenser par un cube au dénominateur (et non plus un simple carré).

Problème à N corps

En dehors de quelques cas rarissimes où une solution exacte est connue, il faut en général recourir à des méthodes de résolutions approchées. Deux approches sont utilisées :

la théorie des perturbations, qui permet de faire des calculs analytiques approchés sous la forme de développements en série.

l'analyse numérique. En programmation, le problème de la simulation de $N$ corps devrait être théoriquement d'ordre $N 2$ , car toutes les interactions de corps deux à deux devraient être considérées a priori. Des considérations de découpage spatial récursif (Voir: Algorithme de Barnes-Hut) permettent cependant d'arriver à de très correctes approximations en un temps de l'ordre de $N log N$ seulement.

Problème à deux corps ou mouvement keplerien

Premier triomphe de la mécanique de Newton, le problème à deux corps est entièrement soluble analytiquement : on dit qu'il s'agit d'un problème intégrable. Tous les étudiants de premier cycle en physique en découvrent un jour les rouages.

Remarque sur le problème à trois corps

Contrairement à une idée répandue, le problème à trois corps possède une solution analytique exacte, découverte par Karl Sundman en 1909. Malheureusement, cette solution se présente sous la forme d'une série infinie qui converge très lentement, ce qui la rend inutile en pratique pour faire des prédictions en un temps raisonnable.

Le problème à trois corps a trouvé un renouveau par la solution périodique en huit , trouvée par Alain Chenciner et Richard Mongomery ( http://www.scholarpedia.org/article/Three_body_problem).