Problèmes du prix du millénaire - Définition
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Introduction
Les problèmes du prix du millénaire comptent 7 défis mathématiques réputés insurmontables. La résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains.
Description
Chacun des défis consiste à :
- soit démontrer une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse ;
- soit définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations.
Chacune de ces solutions permettra de solidifier les bases théoriques dans certains domaines de la mathématique dits fondamentaux, et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances en mathématiques fondamentales.
Si la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de 2 ans, alors le Clay Mathematical Institute remettra un million de dollars américains à la personne ou au groupe qui l'aura formulée.
Le premier de ces problèmes fait partie des problèmes de Hilbert non résolus.
Impact médiatique
L'écho auprès des médias a été important, bien que les primes annoncées par le Clay Mathematical Institute ne représentent pas en réalité des montants si spectaculaires (l'ordre de grandeur des salaires des professeurs titulaires de chaires de mathématiques au sein des universités américaines importantes est au minimum de 130 000 dollars américains, donc la prime ne représente pas beaucoup plus de cinq et moins de dix années de revenus). Au sein de la communauté mathématique, l'unanimité ne s'est pas faite pour approuver l'existence de ces primes.
Histoire
Au début du XXe siècle, le mathématicien David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. De la même façon, le Clay Mathematical Institute, à la fin du XXe siècle, a décidé d'attribuer un prix d'un million de dollars américains à qui trouverait une solution satisfaisante à l'un des 7 problèmes posés.
À ce jour, le seul des sept problèmes qui ait été résolu est la conjecture de Poincaré, démontrée par Grigori Perelman (cf. infra).
Liste des problèmes
Hypothèse de Riemann
Conjecture de Poincaré
Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, et sa démonstration a été récompensée par l'attribution de la médaille Fields en 2006. Mais il l'a déclinée. En ce qui concerne le prix Clay, bien que ses articles n'aient pas été publiés dans des revues à comité de lecture, mais sur arXiv, un répertoire (partiellement) modéré dédié à l'archivage de pré-publications principalement de physique et de mathématiques, l'Institut Clay a annoncé le 18 mars 2010 lui avoir néanmoins décerné ce prix, considérant que les conditions de la validation de son travail avaient été réunies. Le 1er juillet 2010 l'Institut Clay a annoncé sur son site que Grigori Perelman l'avait informé refuser le Prix. Parmi les raisons sous-jacentes à son choix, qu'il a dit être multiples, il a souhaité mettre en avant que son refus devait être vu comme une dénonciation de l'attitude de la communauté mathématique dans sa façon, qu'il considère injuste, d'attribuer ce type de récompense (selon ses propos rapportés par des médias russes, il aurait en particulier indiqué qu'à ses yeux les contributions de Richard Hamilton étaient du même niveau d'importance que les siennes).
Problème ouvert P=NP
Savoir si P = NP est un des principaux problèmes ouverts de l'informatique théorique. Le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin (en) le décrit comme le seul problème de la liste potentiellement accessible aux non-spécialistes, dans la mesure où sa description est accessible et une idée simple pourrait suffire à le résoudre.
Conjecture de Hodge
Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
Ces équations sont fondamentales pour expliquer le comportement des fluides en aérodynamique. Il existe des solutions partielles, mais aucune solution générale n'est encore proposée au XXIe siècle.
