Conjecture de Poincaré - Définition
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Introduction
En mathématiques, et plus précisément en topologie, la conjecture de Poincaré est une conjecture portant sur la caractérisation de la sphère à trois dimensions.
Jusqu'à l'annonce de sa démonstration en 2003, il s'agissait d'une conjecture topologique non résolue. Elle faisait partie des sept « problèmes du prix du millénaire » recensés et mis à prix en 2000 par l'Institut de mathématiques Clay ; en mars 2010, l'institut Clay a officiellement décerné le prix correspondant à Grigori Perelman, prix que ce dernier a refusé, en raison d'un « désaccord avec les décisions de la communauté mathématique ».
Historique
Formulation
La conjecture fut formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, et s'énonce ainsi :
- « Soit une variété compacte V simplement connexe, à 3 dimensions, sans bord. Alors V est homéomorphe à une hypersphère de dimension 3. »
Poincaré ajouta, avec beaucoup de clairvoyance, un commentaire : « mais cette question nous entraînerait trop loin ».
Précisément, la question est de savoir si toute variété de dimension 3 fermée, simplement connexe et sans bord, est homéomorphe à une sphère. Plus grossièrement, si « un objet à trois dimensions » donné possède les mêmes propriétés que celles d'une sphère (notamment que toutes les boucles de celui-ci peuvent être resserrées en un point), alors il est juste une « déformation » d'une sphère tridimensionnelle (la sphère ordinaire — surface dans l'espace ordinaire — possède seulement deux dimensions).
Ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que
Progrès récents
Vers la fin de l'année 2002, des publications sur l'arXiv de Grigori Perelman de l'Institut de mathématiques Steklov de Saint-Pétersbourg laissent penser qu'il pourrait avoir trouvé une preuve de la « conjecture de géométrisation » (voir ci-dessous), mettant en œuvre un programme décrit plus tôt par Richard Hamilton. En 2003, il publia un deuxième rapport et donna une série de conférences aux États-Unis. En 2006, un consensus d'experts a conclu que le travail récent de Grigori Perelman en 2003 résolvait ce problème, plus d'un siècle après son premier énoncé. Cette reconnaissance a été annoncée officiellement lors du congrès international des mathématiciens le 22 août 2006 à Madrid au cours duquel la médaille Fields lui a été décernée conjointement avec trois autres mathématiciens. Cependant Perelman a refusé la médaille, et laissé entendre qu'il refuserait également le prix Clay. Ce prix lui a été décerné le 18 mars 2010.
Problèmes mathématiques reliés
Des conjectures analogues à celles de Poincaré dans des dimensions autres que 3 peuvent également être formulées:
- toute variété compacte de dimension n qui est homotopiquement équivalente à la sphère unité est homéomorphe à la sphère unité.
La conjecture de Poincaré donnée précédemment apparaît comme le cas particulier n = 3.
La difficulté de la basse dimension en topologie est accentuée par le fait que tous les résultats analogues avaient été prouvés :
- en dimension n = 4, de loin la plus difficile, par Freedman en 1982 ;
- en dimension n = 5, par Zeeman en 1961 ;
- en dimension n = 6, par Stallings en 1962 ;
- pour n ≥ 7 par Smale en 1961 (il étendit sa démonstration à tout n ≥ 5).
alors que la version à trois dimensions originale de la conjecture de Poincaré demeurait sans solution.
