Équations de Navier-Stokes - Définition et Explications

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En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires qui décrivent le mouvement des fluides dans l'approximation des milieux continus. Elles gouvernent par exemple les mouvements de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et...) de l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :), les courants océaniques, l'écoulement de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les...) dans un tuyau, et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de fluides. Elles sont nommées d'après deux physiciens du XIXe siècle, Claude Navier et George Stokes. Notons qu'il est possible de démontrer les équations de Navier-Stokes (En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées...) à partir de l'équation de Boltzmann.

Formule générale pour un fluide (Un fluide est un milieu matériel parfaitement déformable. On regroupe sous cette...) constitué d'une seule espèce (Dans les sciences du vivant, l’espèce (du latin species, « type »...) chimique

Il existe bien des formes des équations de Navier-Stokes. Nous n'en présenterons que certaines. Il est à noter que ces formes dépendent aussi des notations utilisées. Ainsi, il existe plusieurs façons équivalentes d'exprimer les opérateurs différentiels.

La formulation (La formulation est une activité industrielle consistant à fabriquer des produits...) différentielle de ces équations est la suivante :

  • Équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement...) de continuité (En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction....) (ou équation de bilan de la masse)

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot (\rho \vec{v}) = 0

  • Équation de bilan de la quantité de mouvement (En physique, la quantité de mouvement est la grandeur physique associée à la vitesse et la masse...)

\frac{\partial \left( \rho \vec{v} \right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left(\rho \vec{v} \otimes \vec{v} \right) = - \overrightarrow{\nabla} p + \overrightarrow{\nabla} \cdot \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} + \rho \vec{f}

  • Équation de bilan de l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...)

\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \overrightarrow{\nabla} \cdot \left[ \; \left(\rho e + p\right) \vec{v} \; \right] = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} \cdot \vec{v} \right) + \rho \vec{f} \cdot \vec{v} - \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{\dot{q}} + r

Dans ces équations :

  • t\, représente le temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le...) (unité SI: s\,) ;
  • \rho\, désigne la masse volumique (La masse volumique est une grandeur physique qui caractérise la masse d'un matériau par...) du fluide (unité SI: kg \cdot m^{-3}) ;
  • \vec{v} = (\; v_1, \; v_2, \;v_3 \;) désigne la vitesse (On distingue :) eulerienne d'une particule fluide (unité SI: m \cdot s^{-1}) ;
  • p\, désigne la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée...) (unité SI: Pa\,) ;
  • \overrightarrow{\overrightarrow{\tau}} = \left( \tau_{i,j} \right)_{i,j} est le tenseur (Tenseur) des contraintes visqueuses (unité SI: Pa\,) ;
  • \vec{f} désigne la résultante des forces massiques s'exerçant dans le fluide (unité SI: N \cdot kg^{-1}) ;
  • e\, est l'énergie totale par unité de masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un...) (unité SI: J \cdot kg^{-1}) ;
  • \vec{\dot{q}} est le flux de chaleur (Le flux de chaleur est une transmission de chaleur (ou énergie thermique) à travers un corps. Le...) perdu par conduction thermique (La conduction thermique (ou diffusion thermique) est un mode de phénomène de transfert...) (unité SI: J \cdot m^{-2} \cdot s^{-1}) ;
  • r\, représente la perte de chaleur (Dans le langage courant, les mots chaleur et température ont souvent un sens équivalent :...) volumique due au rayonnement (Le rayonnement, synonyme de radiation en physique, désigne le processus d'émission ou de...) (unité SI: J \cdot m^{-3}\cdot s^{-1}).

Remarques:

  • L'énergie totale peut se décomposer en énergie interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la...) u et en énergie cinétique (L'énergie cinétique (aussi appelée dans les anciens écrits vis viva, ou force vive) est...) selon

e = u + \frac{1}{2} \; \vec{v} \cdot \vec{v} = u + \frac{1}{2} \; v^2

  • L'opérateur (Le mot opérateur est employé dans les domaines :) nabla (Nabla, noté , est un symbole mathématique pouvant aussi bien désigner le gradient d'une fonction...), \overrightarrow{\nabla} = (\partial /\partial x_1,\partial /\partial x_2,\partial /\partial x_3) en coordonnées cartésiennes, est un opérateur de dérivation spatiale du 1er ordre. Les opérateurs gradient, divergence et laplacien peuvent s'écrire à l'aide de cet opérateur :
    • \mathrm{div} \; \vec{a} = \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{a} ;
    • \overrightarrow{\mathrm{grad}} \; A = \overrightarrow{\nabla} A ;
    • \Delta \; A = \overrightarrow{\nabla} \cdot \left( \overrightarrow{\nabla} A \right) = \nabla^2 A.

Expression en coordonnées cartésiennes

En coordonnées cartésiennes (\; x_1, \; x_2, \; x_3 \;), les équations de Navier-Stokes s'écrivent :

  • Équation de continuité :

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} ( \rho v_i )= 0

  • Équation de bilan de la quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire,...) de mouvement (j = 1,2,3)

\frac{\partial \left( \rho v_j \right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left(\rho v_i v_j \right) =  -\frac{\partial p}{\partial x_j} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \tau_{i,j}}{\partial x_i} + \rho f_j

  • Équation de bilan de l'énergie

\frac{\partial \left( \rho e\right)}{\partial t} + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \; \left(\rho e + p\right) v_i \; \right] = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left( \tau_{i,j} v_j \right) +  \sum_{i=1}^3 \rho f_i v_i - \sum_{i=1}^3 \frac{\partial \dot{q}_i}{\partial x_i} + r

Fluide newtonien, hypothèse de Stokes

En première approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...), pour de nombreux fluides usuels comme l'eau et l'air, le tenseur des contraintes visqueuses est proportionnel à la partie symétrique du tenseur des taux de déformation (hypothèse de Newton) et le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments...) de chaleur est proportionnel au gradient de la température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et...) (loi de Fourier), c'est-à-dire

  • \overrightarrow{\overrightarrow {\tau}} = \mu \left[ \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right) + \left( \overrightarrow{\nabla} \otimes \vec{v} \right)^t \right] + \eta \left( \overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v} \right) \; \overrightarrow{\overrightarrow {I}}  ;
  • \vec{\dot{q}} = - \lambda \overrightarrow{\nabla} T ;

où :

  • \mu\, désigne la viscosité dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il...) du fluide (unité SI: Po\, (Poiseuille), 1\;Po= 1\;Pa \cdot s) ;
  • \eta\, désigne la viscosité de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension...) du fluide (unité SI: Po\,) ;
  • \overrightarrow{\overrightarrow {I}} désigne le tenseur unité ;
  • \lambda\, désigne la conductivité thermique (La conductivité thermique est une grandeur physique caractérisant le comportement des...) du fluide (unité SI: J \cdot K^{-1} \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}) ;
  • T\, désigne la température (unité SI: K\,).

L'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection...) des fluides pour lesquels cette hypothèse est vérifiée sont appelés fluides newtoniens. On leur adjoint généralement l'hypothèse de Stokes :

  • 3 \eta + 2 \mu = 0\,.

Cette hypothèse se révèle totalement fausse mais est couramment utilisée dans l'aéronautique (L'aéronautique inclut les sciences et les technologies ayant pour but de construire et de...).

Remarque :

De nombreux fluides, tels que les polymères, les hydrocarbures lourds, le miel, ou encore la pâte de dentifrice (Le dentifrice est une pâte utilisée sur une brosse à dents pour le nettoyage des...), ne vérifient pas ces hypothèses. La science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire...) chargée d'étudier les relations entre contrainte et déformation pour de tels fluides s'appelle la rhéologie.

Expression pour les écoulements de fluides compressibles

L'écoulement d'un fluide est dit incompressible lorsque l'on peut négliger ses variations de masse volumique au cours du temps. Cette hypothèse est vérifiée lorsque le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) de Mach Ma\, est faible. En général, on considère l'écoulement incompressible lorsque Ma < 0,3\,. Dans le cas contraire, c'est-à-dire pour un écoulement compressible, on adjoint pour fermer le système une équation d'état du fluide, de la forme

  • f(p,\rho, T) = 0\,

Pour un gaz parfait (Le gaz parfait est un modèle thermodynamique décrivant le comportement de tous les gaz...), cette équation d'état s'écrit

  • p = \rho \frac{R}{M} T

R\, désigne la constante des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et...) parfaits et M\, la masse molaire du fluide.

Expression pour les écoulements de fluides incompressibles

Pour un fluide visqueux newtonien et lorsque l'écoulement est incompressible, l'équation de l'énergie est découplée des équations de continuité et de quantité de mouvement, c'est-à-dire qu'on peut déterminer la vitesse et la pression indépendamment de l'équation de l'énergie. L'expression des équations de continuité et de quantité de mouvement sont considérablement simplifiées. On obtient alors

  • Équation de continuité appelée alors équation d'incompressibilité

\overrightarrow{\nabla} \cdot \vec{v}= 0

  • Équation de bilan de la quantité de mouvement

\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left( \vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right) \vec{v} = - \frac{1}{\rho} \overrightarrow{\nabla} p + \nu \nabla^2 \vec{v}+ \vec{f}

  • \nu = \frac{\mu}{\rho} désigne la viscosité cinématique (En physique, la cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie le...) du fluide (unité SI: m^2 \cdot s^{-1})

Interprétation

L'équation de quantité de mouvement est l'équivalent de la relation fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la dynamique (aussi appelée seconde ( Seconde est le féminin de l'adjectif second, qui vient immédiatement après le premier ou qui...) loi de Newton) : \Sigma \vec{F} = m \vec{a}.

Dans cette formule, on voit apparaître trois types de forces :

  • Les forces de pression, spécifique de la mécanique des fluides (La mécanique des fluides est la branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides...).
  • Les forces de viscosité. Notez que le second terme contenant la viscosité de volume disparait si le fluide est incompressible.
  • D'autres forces massiques, qui peuvent être des forces de gravité (La gravitation est une des quatre interactions fondamentales de la physique.) \left(\vec{f}=\vec{g}\right) ou électromagnétiques \left(\vec{f}=\frac{q}{\rho}(\vec{E}+\vec{v}\wedge\vec{B})\right). Pour le cas de la gravité \left(\vec{f}=\vec{g}\right), ce terme représente le poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la...) d'une particule fluide et représente la poussée (En aérodynamique, la poussée est la force exercée par le déplacement de l'air...) d'Archimède (Archimède de Syracuse (en grec ancien :...). En effet, lorsque le fluide est au repos, on retrouve immédiatement l'équation de l'hydrostatique :

\vec{\nabla}p= \rho \vec{g}

L'expression de l'accélération (L'accélération désigne couramment une augmentation de la vitesse ; en physique,...) est plus délicate et s'exprime de deux manières

  • L'approche lagrangienne consiste à suivre les particules de fluides. L'accélération est la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la...) particulaire de la vitesse: D \vec{v} \over Dt.
  • L'approche eulérienne consiste à se placer en une position fixe. L'accélération est alors la somme de la dérivée

partielle de la vitesse \partial\vec{v} \over \partial t (accélération locale) et d'un terme advectif \left(\vec{v} \cdot \overrightarrow{\nabla} \right)\vec{v}.

La résolution de l'équation de Navier-Stokes est extrêmement difficile. À la complexité (La complexité est une notion utilisée en philosophie, épistémologie (par...) inhérente aux équations aux dérivées partielles s'ajoutent celle de la non-linéarité introduite par le terme d'advection de l'accélération. La plupart du temps, on essaie de résoudre une version simplifiée de l'équation en éliminant l'un de ces termes. Par exemple, à faible nombre de Reynolds, on peut négliger le terme advectif (écoulement de Stokes) et à fort nombre de Reynolds, on s'affranchit de la viscosité (équation d'Euler).

Bibliographie

  • Aérodynamique : Théories de la Dynamique des Fluides, A. Bonnet, J. Luneau, Éditions Cépaduès, septembre 89, 544 p.
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