Théorème d'Ehrenfest - Définition
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Introduction
Mécanique quantique | ||||||||||||||
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| Postulats de la mécanique quantique Histoire de la mécanique quantique
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Le théorème d'Ehrenfest, du nom du physicien Paul Ehrenfest, relie la dérivée temporelle de la valeur moyenne d'un opérateur quantique au commutateur de cet opérateur avec le hamiltonien
Théorème
Le théorème d'Ehrenfest affirme que la valeur moyenne d’un opérateur
![\frac{d\langle \hat{A}\rangle}{dt} = \frac{1}{i\hbar} \left \langle \psi (t) \right |[\hat{A},\hat{H}]\left | \psi (t) \right \rangle + \langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/b55daf155ca8177aa5c19358c8a6372d_9174ad3cd8ba4ed716537f1e3758886f.png)
Ce théorème s'adapte parfaitement à la représentation de Heisenberg en mécanique quantique, et il est étroitement lié au théorème de Liouville de la mécanique hamiltonienne, qui utilise le crochet de Poisson au lieu d'un commutateur. En fait, c'est une loi empirique générale qu'un théorème de mécanique quantique qui contient un commutateur puisse devenir un théorème de mécanique classique en changeant le commutateur par un crochet de Poisson et en multipliant par
où
Soit A une grandeur physique représentée par l'opérateur autoadjoint
En dérivant
On remarque que
On insère ces deux expressions dans l'expression précédente et on obtient
Avec
![\hat{A}\hat{H} - \hat{H}\hat{A} = [\hat{A},\hat{H}]](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/2/23eadb55ce5ac64842f8f19c82de6146_e55705fcb10735d02c84e8e38039b1f2.png)
Relations d'Ehrenfest
Pour l'exemple très général d'une particule massive se déplaçant dans un potentiel, l'hamiltonien est simplement
où x est la position de la particule. On a alors les relations suivantes :
|
En combinant ces deux relations, on retrouve une équation similaire à celle de Newton en mécanique classique :
Opérateur impulsion
On suppose qu'on veut connaître la variation instantanée de la quantité de mouvement p. En utilisant le théorème d'Ehrenfest, on a
![\frac{d}{dt}\langle p\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,H]\rangle + \langle \frac{\partial p}{\partial t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [p,V(x,t)]\rangle](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/b/b04a10da601d90b32f77dfd393b5a068_3d87dda87eba95f038dce37eace1dc36.png)
puisque p commute avec lui-même et puisque lorsqu'il est représenté avec les coordonnées d'espace, l'opérateur d'impulsion
-
Donc
Ensuite en appliquant la règle du produit, on a
on voit apparaître la seconde loi de Newton. C'est un exemple du principe de correspondance ; le résultat signifie, comme la deuxième loi de Newton, que le mouvement net d'un grand nombre de particules est exactement donné par la valeur moyenne d'une particule seule.
Opérateur position
On peut aussi obtenir une autre relation en remplaçant l'opérateur
![\frac{d}{dt}\langle \hat r\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\hat H]\rangle + \langle \frac{\partial \hat r}{\partial \hat t}\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [\hat r,\frac{\hat p^2}{2m}]\rangle](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/d/da14b8fdaf33e6e0312f35932f6653b0_58a025e84048e376f7f8e10e6a8e5be5.png)
En utilisant les relations de commutations,
![[\hat r, \frac{\hat p ^2}{2m}] = \frac{i \hbar }{m} \hat p](https://static.techno-science.net/illustrationWebp/Definitions/autres/8/8b2a7ef515f4cf6233ddafc860b39e73_c1f57c8da824689a46aacb6d0834d828.png)
on obtient :
