Théorème de Wedderburn - Définition

Introduction

En mathématiques et plus précisément en algèbre, le théorème de Wedderburn est un théorème sur les corps.

Il affirme que tout corps fini est commutatif.

Il a été nommé en l'honneur de Joseph Wedderburn pour son article de 1905 proposant trois démonstrations de ce théorème.

Remarque sur la terminologie : la définition anglo-saxonne des corps (fields) demande en fait que la multiplication soit commutative, nos corps (non nécessairement commutatifs) s'appelant des skew-fields (corps gauches) ou parfois des division algebras (algèbres avec division). La convention la plus usitée en France, et qui sera utilisée dans cet article, était de préciser si le corps est commutatif ou non, même si elle tend désormais à s'aligner sur le modèle anglo-saxon.

Énoncé du théorème

• Tout corps fini est commutatif.

En fait, le théorème se généralise aux anneaux finis sans diviseurs de zéro, et montre que ceux-ci sont également des corps commutatifs, mais ce résultat n'apporte rien de plus, car il est facile de montrer que dans un monoïde fini, tout élément régulier est inversible, en remarquant que la multiplication par cet élément est injective, donc surjective.

Démonstration

La démonstration proposée ici est due à Ernst Witt en 1931. Elle peut se découper en quatre temps.

K est un espace vectoriel sur son centre

• K est un corps fini. Il est donc de caractéristique p ≠ 0 et contient une copie de F_p comme corps premier. F_p est commutatif. Soit Z le centre du corps K et q=|Z| son cardinal. Z est le plus grand sous-corps commutatif de K.

• K est un Z-espace vectoriel de dimension finie d= dim_Z(K). On appelle aussi d le degré de K sur Z, noté [K : Z]. Le cardinal de K est alors |K|=q^d.

Si d=1, K=Z est commutatif et ce n'est plus le cas si d>1.

• Pour tout corps intermédiaire , la dimension de K' sur Z divise celle de K sur Z. Pour voir cela, notons d' = dim_Z(K' ). Le groupe des inversibles de est un sous-groupe de éléments inversibles de donc divise . Il existe donc une racine primitive d'-ième tel que . En faisant la division euclidienne de d par d' on montre que d' divise d. CQFD

Soit x un élément de K et Z_x l'ensemble des éléments de K commutant avec x. Z_x est un sous-corps de K contenant Z. D'après le point précédent, d_x=dim_Z(Z_x) divise d.

Formule des classes pour l'action de K^× sur lui-même par conjugaison.

Notons K^× le groupe multiplicatif de K, constitué des éléments inversibles de K. K^×agit sur lui-même par conjugaison par pour .

• Le cardinal de l'orbite d'un élément de K^× est où, rappelons, . La conjugaison est triviale sur Z ; les éléments de ont une classe réduite à un élément.

• Si (x_i) est une suite de représentants des k orbites non ponctuelles, la formule des classes s'écrit :

soit :

En notant

on vient de voir que

Φ_d(X) divise F(X) dans Z[X]

• La théorie des polynômes cyclotomiques à coefficients dans les nombres rationnels démontre l'égalité suivante, si Φ_e(X) désigne le polynôme cyclotomique d'indice e.

En particulier Φ_n(X) divise Xⁿ - 1 mais pour tout e divisant n, en(X) ne divise pas X^e - 1

• Φ_d(X) divise F(X) dans . En effet pour tout dont l'orbite n'est pas ponctuelle est un diviseur strict de donc pour un certain C(X) à coefficients rationnels, d'où et la conclusion suit, vue la définition de F(X).

• Comme Φ_d(X) est unitaire, on sait trouver Q(X) et R(X) à coefficients entiers tels que F(X) = Φ_d(X).Q(X) + R(X) avec d°(R)d) ou R=0. R est nécessairement nul, sinon, en regardant cette division dans , on contredirait le point précédent. Donc F(X)=Φ_d(X)Q(X) où Q(X) est à coefficients entiers.

Géométrie des racines primitives d-ièmes

• Dans l'égalité F(q) = q - 1 =Φ_d(q)Q(q), Q(q) est un entier non nul donc |Q(q)| est au moins 1 et

• Comme l'illustre la figure ci-contre, si u est une racine primitive n_ième de l'unité avec n>1, on a

.

• , où z_i décrit l'ensemble des racines primitives d-ièmes de l'unité. Les deux inégalités précédentes entraînent d=1 ; ainsi K est commutatif. Le théorème est démontré.