Théorie de Morse - Définition

Introduction

En topologie différentielle, la théorie de Morse désigne un ensemble de techniques et de méthodes mises en place durant la seconde moitié du XXe siècle, permettant d'étudier la topologie d'une variété différentielle en analysant les lignes de niveau d'une fonction définie sur cette variété. Le premier résultat d'importance est le lemme de Morse, qui donne le lien entre points critiques d'une fonction suffisamment générale et modification de la topologie de la variété. L'homologie de Morse systématise cette approche. Parmi les résultats les plus remarquables de la théorie de Morse doivent être mentionnés les inégalités de Morse (estimation du nombre de points critiques), et le théorème du h-cobordisme (étudiant la relation de cobordisme entre variétés).

Cette branche des mathématiques porte le nom du mathématicien américain Marston Morse.

Le principe général

Reconstruction d'un tore

Le tore posé verticalement et les lignes de niveau de la fonction hauteur

Une des illustrations les plus simples des idées générales de la théorie de Morse est la « reconstruction » d'un tore à partir de la fonction hauteur. Soit donc un tore M (surface ayant la forme d'une chambre à air), posé verticalement. Soit h l'application qui à un point du tore associe sa coordonnée dans la direction verticale (la hauteur).

Pour des valeurs de z de plus en plus grandes on procède à la description de la partie de la surface qui est de hauteur inférieure à z. Cette partie est appelée le sous-niveau de hauteur z.

Point selle

Dans cette description, quatre points particuliers vont jouer un rôle. Ils portent le nom de points critiques pour la fonction hauteur. Ce sont les points de hauteur minimale et maximale d'une part, et deux autres points qualifiés de « point-selle » ou « point col » d'autre part. L'aspect du tore à la proximité du point selle le plus bas est donné par la figure ci-contre. Il se caractérise par la présence de directions montantes et descendantes lui donnant effectivement la forme d'un col.

Description des sous-niveaux successifs

• Pour z strictement inférieur à la hauteur du minimum, le sous-niveau M^z est vide .
• Pour z légèrement supérieur à cette valeur, le sous-niveau prend la forme d'une calotte.
• Lorsque z augmente, le sous-niveau ne change pas de nature topologique jusqu'à atteindre la hauteur du premier point selle.
• Dépasser légèrement la hauteur du premier point selle modifie le sous-niveau, qui devient cylindre. À homotopie près cette modification revient à ajouter une « anse » à la calotte précédente.
• De nouveau le type topologique ne change pas quand l'altitude est modifiée, jusqu'au deuxième point selle.
• Encore une fois, franchir le point selle modifie le type topologique, et revient à ajouter une nouvelle anse au cylindre (on obtient un tore percé).
• Atteindre la hauteur maximum permet de finir la figure en rajoutant un disque pour fermer le tore.

Étapes de la reconstruction

À équivalence homotopique près, la calotte devient cylindre par ajout d'une« anse »

À équivalence homotopique près, le cylindre devient tore percé par ajout d'une « anse »

Règles de reconstruction

La règle qui semble se dégager est que lorsque l'altitude z varie, la topologie du sous-niveau M^z reste inchangée tant que z évolue entre deux valeurs critiques. Le franchissement d'un niveau critique engendre une modification de la topologie par ajout d'un élément (point, droite, disque...) qui dépend directement de la nature du point critique. Cette règle doit en fait être amendée pour tenir compte de deux phénomènes « exceptionnels »

• il se peut que plusieurs points critiques soient situés à la même altitude ;
• la modification de topologie ne se décrit simplement que pour les points critiques non dégénérés.