Théorie de Morse - Définition

Théorème du h-cobordisme

Deux variétés différentielles compactes sans bord M et N de même dimension n sont dites en cobordisme lorsqu'il existe une variété différentielle compacte X, de bord la somme disjointe de M et de N. La variété X est dite réaliser un cobordisme entre M et N. L'existence d'un tel cobordisme ne dépend que de la classe d'isomorphisme de M et de N. De fait, le cobordisme peut être regardé comme une relation d'équivalence sur l'ensemble des variétés différentielles de dimension n à difféomorphisme près.

Le théorème du h-cobordisme permet de construire par récurrence et à difféomorphisme près toutes les variétés en cobordisme avec une variété différentielle compacte M donnée.

Théorème du h-cobordisme :

Formalisation de la théorie

La théorie de Morse s'applique à une fonction différentiable réelle f sur une variété différentielle M. Les points critiques de f sont les points où la différentielle de f s'annule, les valeurs critiques sont les valeurs prises par f en ces points. En chacun des points, il est possible de définir le hessien de f comme une forme quadratique sur T_xM. Le point critique x est dit non dégénéré lorsque le hessien correspondant est une forme quadratique non dégénérée. L'indice de x est défini comme la dimension du plus grand sous-espace défini négatif.

Les lignes de gradient

Les lignes de gradient sont un outil adapté à la comparaison des sous-niveaux entre eux. Dans le cas de la "fonction hauteur" donnée en exemple, il s'agirait des lignes de plus grande pente tracées sur le tore. Pour les définir en général, il faut munir la variété d'une métrique riemannienne. Il est alors possible d'introduire le champ de vecteurs gradient de la fonction f. Les lignes de gradient de f sont les courbes intégrales de ce champ de vecteurs, c'est-à-dire les solutions de l'équation différentielle :

.

Les lignes de gradient sont orthogonales aux hypersurfaces de niveau, définies par l'équation f=constante. Sur une variété riemannienne compacte sans bord (M, g), le champ de gradient est globalement intégrable, c'est-à-dire que toutes les lignes de gradient sont définies sur tout R.

Évolution des sous-niveaux

Les sous niveaux M^z de la fonction f sont définie comme précédemment. Les deux théorèmes suivants permettent de comparer les sous-niveaux entre eux.

Théorème : description des zones sans point critique

Si a<b, et si f ^{− 1}([a,b]) est compact sans point critique, alors M^a et M^b sont des variétés à bord difféomorphes.

Plus précisément, la partie ajoutée à M^a pour obtenir M^b, qui ressemble à une jambe de pantalon, peut être décrite en suivant les lignes de gradient de la fonction f. Cette partie est difféomorphe au produit et, toujours en suivant ces lignes de gradient, M^b se rétracte par déformation sur M^a.

Passage d'un point critique d'indice 1

Théorème : passage d'un point critique

Soit p un point critique non dégénéré de f d'indice d' et q=f(p) la valeur critique correspondante. On suppose que a et que f ^{− 1}([a,b]) est compact. On suppose enfin que p est le seul point critique correspondant à la valeur q. Alors pour ε assez petit M^q+ε est homotopiquement équivalent à M^q-ε auquel on ajoute une d-cellule.