Trigonométrie
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Formules de trigonométrie

Identité fondamentale

Quel que soit l'angle A, on a (d'après le théorème de Pythagore):

 \cos^{2} A + \sin^{2} A = 1 \,

Formules d'addition et de différence

\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\cos (2A) =  \cos^{2} A - \sin^{2} A = 2\cos^{2} A - 1 = 1 - 2\sin^{2} A \,
\sin (2A) =  2\sin A \cos A \,
\tan (2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^{2} A } \,

Formules de l'arc moitié

Ces formules sont importantes à retenir car elles interviennent dans de très nombreux problèmes. En posant : t = \tan \frac{A}{2}, on a alors :

\sin\ A = {{2\,t} \over {1+t^{2}}}
\cos\ A = {{1-t^{2}} \over {1+t^{2}}}
\tan\ A = {{2\,t}\over {1-t^{2}}}

Formules de développement et de factorisation (Formules de Simpson)

Développement

\cos (a) \times \cos (b) = {{\cos(a-b)+\cos(a+b)} \over 2}
\sin (a) \times \sin (b) = {{\cos(a-b)-\cos(a+b)} \over 2}
\sin (a) \times \cos (b) = {{\sin(a+b) + \sin(a-b)} \over 2}
\cos^{2} (a)  = {{1 + \cos (2a)} \over 2}
\sin^{2} (a)  = {{1 - \cos (2a)} \over 2}

Factorisation

\cos p + \cos q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)
\cos p - \cos q = -2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)
\sin p + \sin q = 2 \sin \left( {{p+q} \over 2} \right) \cos \left( {{p-q} \over 2} \right)
\sin p - \sin q = 2 \cos \left( {{p+q} \over 2} \right) \sin \left( {{p-q} \over 2} \right)

Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) d'Al-Kashi ou Loi des cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme...)

a^2 = b^2 + c^2 - 2\,b\,c \cdot cos\ A

Cette formule a une importance particulière en triangulation (En géométrie et trigonométrie, la triangulation est une technique permettant de déterminer la position d'un point en mesurant les angles entre ce point et d'autres...) et a servi à l'origine en astronomie (L’astronomie est la science de l’observation des astres, cherchant à expliquer leur origine, leur évolution, leurs propriétés physiques et chimiques. Elle ne doit pas être confondue avec la...) (voir Théorème d'Al-Kashi pour plus de détails). On doit au mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) Ghiyath al-Kashi, de l'école de Samarcande, de mettre le théorème sous une forme utilisable pour la triangulation au cours du XVe siècle.

Résoudre un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points et par les trois segments qui les relient. La dénomination de...)

C'est, étant donné un côté et deux angles adjacents, ou un angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) et deux côtés adjacents, ou à la rigueur deux côtés b et c et l'angle B, trouver le triangle correspondant, c'est-à-dire, a, b, c, A, B, C (et vérifier une des règles non appliquée dans le processus). On résout ce genre de problème à l'aide des formules précédentes (plus la formule de projection (La projection cartographique est un ensemble de techniques permettant de représenter la surface de la Terre dans son ensemble ou en partie sur la surface plane d'une carte.) évidente a = b.cosC +c.cosB).

Exemple : Sur l'axe Ox, OB = 1 et OC = 1.5 . OBM = 60° et OCM = 30° Trouver M  :

On résout ainsi : faire l'épure ; M se trouve en (x= 0.75 ; y = 0.45) environ . Raisonner : triangle BMC : B = 120°, C = 30° donc M = 30° ; donc triangle isocèle en B : BM = 0.5 ; puis CM = 2.(0.5).cos C = sqrt(3)/2. Soit H la projection de M sur l'axe : HM = y et angle HMB = 30°. Il en résulte que y = sqrt(3)/4 = 0,433 et x = 1-(0,5)/2 = 0,75 . La distance OM = sqrt(3)/2 = MC, et azimut (L’azimut est l'angle horizontal entre la direction d'un objet et une direction de référence.) de M = 30°, angle OMB = 90°.

Il est rare du point (Graphie) de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.) cadastral que les cas soient aussi simples.

En général on demande 4 à 6 ChS (chiffres significatifs) : les calculettes ont considérablement réduit le travail assez fastidieux de "réduction des triangles". Rappelons que la mesure du degré (Le mot degré a plusieurs significations, il est notamment employé dans les domaines suivants :) du méridien (En géographie, un méridien est un demi grand cercle imaginaire tracé sur le globe terrestre reliant les pôles géographiques. Tous les points de la Terre situés sur un même méridien ont la même...) terrestre de Paris (Paris est une ville française, capitale de la France et le chef-lieu de la région d’Île-de-France. Cette ville est construite sur une boucle de la Seine, au centre du bassin parisien, entre les confluents de la Marne et de la Seine en...) s'est effectué de la sorte entre Malvoisine et Montlhéry par l'abbé Picard, dans le milieu du XVIIe siècle.

La surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) S du triangle se calcule par la formule des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être...) ou la formule d'Héron (d'Alexandrie) qui s'en déduit : S2 = p(pa)(pb)(pc).

Article détaillé : Résolution d'un triangle

Trigonométrie

Triangle ABC

Une définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) possible des fonctions trigonométriques est d'utiliser les triangles rectangles, c’est-à-dire les triangles qui possèdent un angle droit (90° (degrés) ou π/2 radians).

Et parce que la somme des angles d'un triangle fait 180° (ou π radians), l'angle le plus grand dans un tel triangle est l'angle droit. Le côté le plus long dans un triangle rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.), c’est-à-dire le côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à ajouté à n donne zéro. En botanique, les organes d'une plante sont dits opposés lorsqu'ils sont insérés au même...) à l'angle le plus grand (l'angle droit), s'appelle l'hypoténuse.

Dans la figure à droite, l'angle \widehat{ACB} forme l'angle droit. Le côté AB l'hypoténuse.

Les fonctions trigonométriques se définissent ainsi, avec l'angle \widehat{BAC} = A :

 \sin A = {\mbox{opp} \over \mbox{hyp}} = {a \over c}  \qquad \cos A = {\mbox{adj} \over \mbox{hyp}} = {b \over c}  \qquad \tan A = {\mbox{opp} \over \mbox{adj}} = {a \over b}
Avec opp pour côté opposé, adj pour côté adjacent et hyp pour hypoténuse.

Ce sont les fonctions trigonométriques les plus importantes et il en existe beaucoup d'autres. Elles ont été définies pour les angles entre 0° et 90° (soit entre 0 et π/2 radians). En utilisant le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable,...) unité, on peut étendre cette définition.

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