Surjection
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Une fonction f : X\rightarrow Y est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que f(x) = y. On dit alors que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) élément y de Y admet au moins un antécédent x (par f).

De façon équivalente, on dit que f est surjective si l'image directe (L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont au moins un antécédent par f d'un élément de A :) f\star(D_f) est égale à l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude...) d'arrivée Y, avec Df l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F , est l'ensemble des antécédents de f, c'est-à-dire...) de f.

Quand X et Y sont tous les deux égaux à la droite réelle \mathbb R, alors une fonction surjective f : \mathbb R\rightarrow \mathbb R a un graphe (Le mot graphe possède plusieurs significations. Il est notamment employé :) qui intersecte toute droite horizontale.

Si une surjection (Une fonction est dite surjective ou est une surjection si pour tout y dans l'ensemble d'arrivée Y, il existe au moins un élément x de la source X tel que...) est aussi une injection (Le mot injection peut avoir plusieurs significations :), alors on l'appelle une bijection (Une fonction f: X → Y est dite bijective ou est une bijection si pour tout y dans l’ensemble d'arrivée Y il existe un et un seul x dans l’ensemble de définition X tel que f(x) = y. On dit...).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) formelle

Soit f une application de E dans F. f est dite surjective si et seulement si

\forall y \in F,\, \exist x \in E,\, f(x)=y

Exemple concret

Prenons le cas d'une station de vacances (Les vacances (au pluriel, du latin vacare, « être sans ») sont une période de temps (de quelques jours, semaines, voire mois) pendant laquelle une personne...) où un groupe de touristes doit être logé dans un hôtel (Un hôtel est un établissement offrant un service d’hébergement payant, généralement pour de courtes périodes. Dans sa...). Chaque façon de répartir ces touristes dans les chambres de l'hôtel peut être représentée par une application de l'ensemble des touristes vers l'ensemble des chambres (à chaque touriste est associée une chambre).

  • Les touristes souhaitent que l'application soit injective, c'est-à-dire que chacun d'entre eux ait une chambre individuelle. Cela n'est possible que si le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de touristes ne dépasse pas le nombre de chambres.
  • L'hôtelier souhaite que l'application soit surjective, c'est-à-dire que chaque chambre soit occupée. Cela n'est possible que s'il y a au moins autant de touristes que de chambres.
  • Ces desiderata ne sont compatibles que si le nombre de touristes est égal au nombre de chambres. Dans ce cas, il sera possible de répartir les touristes de telle sorte qu'il y en ait un seul par chambre, et que toutes les chambres soient occupées : l'application sera alors à la fois injective et surjective ; on dira qu'elle est bijective.

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Exemples et contre-exemples

Fonctions sur les réels:

f : \mathbb R\rightarrow \mathbb R
f(x) = x²

n'est pas surjective, car il n'y a pas de x tel que f(x) = -4, par exemple. En revanche, si on change la définition de f en donnant son ensemble d'arrivée comme étant R+, alors elle le devient.

Considérons la fonction f : \mathbb R\rightarrow \mathbb R définie par f(x) = 2x + 1. Cette fonction est surjective, puisque pour tout réel arbitraire y, nous pouvons trouver des solutions de l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) y = 2x + 1 d'inconnue x; une solution est x = (y − 1)/2.

En revanche, la fonction g : \mathbb R\rightarrow \mathbb R définie par g(x) = (cos x)2 n'est pas surjective, parce que (par exemple) il n'existe pas de réel x tel que (cos x)2 = -1.

D'autre part, si nous définissons la fonction h : \mathbb R\rightarrow \mathbb [0,1] par la même relation que g, mais avec un ensemble d'arrivée qui a été restreint à l'ensemble des nombres réels compris entre 0 et 1, alors la fonction h est surjective. Cela s'explique par le fait que, pour tout réel arbitraire y de l'intervalle [0, 1], nous pouvons trouver des solutions de l'équation y = (cos x)2 d'inconnue x qui sont par exemple x = Arccos(√y) ou x = Arccos(−√y).

Propriétés

  • Une fonction f: XY est surjective si et seulement si il existe une fonction g: YX telle que f ? g soit égale à l'application identique (En mathématiques, une application identique ou fonction identique f est une application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie toujours...) sur Y. (cette proposition est équivalente à l'axiome (Un axiome (du grec ancien αξιωμα/axioma, « considéré comme digne, convenable, évident en...) du choix.)
  • Une fonction est bijective si et seulement si elle est à la fois surjective et injective.
  • Si f ? g est surjective, alors f est surjective.
  • si f et g sont toutes les deux surjectives, alors f ? g est surjective.
  • f: XY est surjective si et seulement si, pour toutes fonctions données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) g,h:YZ, lorsque g ? f = h ? f, alors g = h. En d'autres termes, les fonctions surjectives sont précisément les épimorphismes dans les catégories d'ensembles.
  • Si f: XY est surjective et B est un sous-ensemble (En mathématiques, un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie d’un ensemble B, ou encore B est sur-ensemble de A, si tout élément du sous-ensemble A est...) de Y, alors f(f −1(B)) = B. Ainsi, B peut retrouver à partir de l'image directe de f −1(B).
  • Toute fonction h: XZ peut être décomposée comme h = g ? f pour une surjection f et une injection g convenables. Cette décomposition (En biologie, la décomposition est le processus par lequel des corps organisés, qu'ils soient d'origine animale ou végétale dès l'instant qu'ils sont privés de vie, dégénèrent sous l'action de facteurs...) est unique à un isomorphisme près, et f peut être considérée comme fonction prenant les même valeurs que h mais avec son ensemble d'arrivée restreint à l'image de h, h(X), qui est seulement un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée Z de h.
  • Si f: XY est une fonction surjective, alors X a au moins autant d'éléments que Y, au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une évolution progressive allant du...) des cardinaux. (cette proposition est aussi équivalente à l'axiome du choix.)
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