Bruit blanc - Définition

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Échantillon de bruit blanc
Échantillon de bruit blanc

Un bruit blanc est une réalisation d'un processus aléatoire dans lequel la densité spectrale de puissance est la même pour toutes les fréquences.

On parle souvent de bruit blanc gaussien, il s'agit un bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son....) blanc (Le blanc est la couleur d'un corps chauffé à environ 5 000 °C (voir...) qui suit une loi normale (En probabilité, on dit qu'une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou...) de moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de...) et variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) données (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent...).

En synthèse et traitement du son, on ne considère que les fréquences comprises entre 20Hz et 20kHz puisque l'oreille humaine (L'oreille humaine est l'organe qui sert à l'Être humain à capter le son. C'est donc...) n'est sensible qu'à cette bande de fréquences (en fait plutôt 25Hz-19kHz). L'impression obtenue est celle d'un souffle.

Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence; en ordonnée, l'intensité
Spectre plat d'un bruit blanc (sur l'abscisse, la fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un...); en ordonnée, l'intensité

Bruit blanc et solutions analytiques d'équations différentielles

En toute rigueur un bruit blanc ne peut exister car une densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la...) spectrale identique pour toutes les fréquences conduirait à une variance, mesurée par l'aire sous la courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du...), infinie (et donc une énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la...) infinie). Il n'existe donc, comme dans l'exemple qui précède, que des bruits blancs limités à une bande de fréquences.

Cette notion de bruit blanc est intéressante dans certains problèmes pratiques car, bien qu'il ne puisse exister, on montre que la réponse à un bruit blanc d'un système amorti reste finie. Le remplacement d'une excitation quelconque par un bruit blanc fournit donc, en simplifiant considérablement les calculs, une approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de...) d'autant meilleure que l'amortissement du système est plus faible.

Bruit blanc et simulations

Un bruit blanc de densité spectrale (voir analyse spectrale) S0 échantillonné au pas T contient des fréquences inférieures à 1/2T (voir Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Shannon). Il possède donc une variance finie qui s'écrit, si la densité spectrale est exprimée sur une échelle en fréquences positives, σ2 = S0/2T.

Ce bruit blanc est considéré comme une réalisation d'un processus aléatoire décrit, outre sa densité spectrale, par une loi de probabilité (En théorie des probabilités et en statistique, une loi de probabilité décrit...) (voir Variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle...) aléatoire).

Un bruit blanc peut être engendré par une séquence de nombres au hasard (Dans le langage ordinaire, le mot hasard est utilisé pour exprimer un manque efficient, sinon...) qui correspond à une densité de probabilité (En théorie des probabilités ou en statistiques, une densité de probabilité est...) uniforme sur un intervalle de largeur (La largeur d’un objet représente sa dimension perpendiculaire à sa longueur, soit...) unité. Pour obtenir des nombres sur un intervalle de largeur a, il suffit de multiplier le résultat par a.

Conséquence du théorème de la limite centrale, le bruit blanc gaussien est particulièrement utile. Pour le créer, on peut utiliser la formule de Rice

X = AcosΦ

Φ est une séquence de variables uniformes sur un intervalle de largeur 2π.

A est une séquence de variables de Rayleigh dont la fonction de répartition (En théorie des probabilités ou en statistiques, la fonction de répartition d'une...) s'écrit, σ2 étant la variance cherchée pour la variable de Gauss :

{F_A}(a) = 1 - e^{-{{a^2}\over{2 \sigma^2}}}

En égalant cette fonction de répartition à celle d'un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre...) au hasard noté r, on obtient une réalisation de la variable de Rayleigh :

a = \sigma \sqrt{-2 \ln r}

A partir de là, on construit une réalisation d'un bruit blanc gaussien. On peut alors obtenir une réalisation d'un processus gaussien quelconque en prenant sa transformée de Fourier (En analyse, la transformation de Fourier est un analogue de la théorie des séries de Fourier pour...), en la multipliant par la racine carrée (La racine carrée d’un nombre réel positif x est le nombre positif dont le...) de la densité spectrale et en inversant la transformée.

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