Propagation des erreurs
Source: Wikipédia sous licence CC-BY-SA 3.0.
La liste des auteurs de cet article est disponible ici.

Une mesure est toujours entachée d'erreur. Lorsqu'une valeur mesurée est utilisée dans une formule, il faut savoir estimer l'erreur induite sur le résultat de la formule. On parle de propagation d'erreur.

Approches pragmatiques

Report des extrêmes dans le calcul

La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'erreur. Si la mesure a pour valeur

a ± Δa

alors la " valeur réelle " est supposée être dans l'intervalle [aa;aa]. On calcule donc ici

y1 = ƒ(aa)
y2 = ƒ(aa)

et, selon l'ordre de y1 et de y2, on prend [y1;y2] ou [y2;y1] comme intervalle d'erreur.

Cette méthode n'est valable que si la loi est monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle [aa;aa].

Estimation à partir de la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est...)

Une manière simple, utilisée fréquemment en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et ancien, la physique désigne la connaissance de la...), consiste à utiliser un développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0, est l'écriture d'une fonction sous la forme d'une fonction polynôme et d'un reste .) du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi ƒ par sa " tangente " pour estimer l'erreur. On estime ainsi l'erreur avec une loi uniforme (linéaire) et simple.

On a  :

ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ '(a)·(x-a) + o(x)

o(x) est une fonction qui " tend vite " vers 0. Si l'on remplace x par a + Δa, on a alors

ƒ(a + Δa) = ƒ(a) + ƒ '(a)·Δa + o(a + Δa)

On peut donc estimer

Δy ≈ ƒ '(a) · Δa

Cette erreur est sous-estimée si l'on a une loi convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un...).

Approche mathématique

Notations

  • x une variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la probabilité pour qu'elle prenne une valeur donnée ou qu'elle prenne une valeur...),
  • E(x) ou <x> l'espérance mathématique (L'espérance mathématique est une valeur numérique permettant de mesurer le degré d'équité d'un jeu de hasard. Elle est égale à la somme des gains (et des pertes) pondérés par la probabilité du...) de x,
  • V(x) la variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ) de x.
  • \partial_i y est la dérivée partielle de la fonction y par rapport à la i e variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En statistiques, une variable peut...).

par exemple, si x est un vecteur (En mathématiques, un vecteur est un élément d'un espace vectoriel, ce qui permet d'effectuer des opérations d'addition et de multiplication par un scalaire. Un...) (x1, x2,…, xn), alors

\partial_i y(\underline{x}) = \frac{\partial y}{\partial x_i}(\underline{x})

Formules

Une fonction de variables aléatoires

y = y (\underline{x})

est elle-même une variable aléatoire. Si les erreurs sont petites, la variance du développement limité de y au premier ordre autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit constituent les 5 genres Erythrotriorchis,...) des valeurs moyennes μ des x est une bonne estimation de la variance de y :

y(x) = y(\mu) + \sum \left(x_i - \mu_i \right) \partial_i y

On néglige les termes d'ordre supérieur dans l'expansion, il vient :

V(y(x)) = \sum_i\sum_j \partial_i y \partial_j y V_{ij}(x)

Si les x sont indépendantes

V(y(x)) = \sum_i \left( \partial_i y \right)^2 V_{ii}(x)

Applications

Mesure d'une résistance

Une application pratique est la mesure expérimentale ( En art, il s'agit d'approches de création basées sur une remise en question des dogmes dominants tant sur le plan formel, esthétique, que sur le plan culturel et politique. En science, il...) d'une résistance R à partir de la chute de tension (La tension est une force d'extension.) U entre ses bornes et du courant I. La résistance est décrite par la loi d'Ohm.

R = \frac{U}{I}

Nous avons

\langle R \rangle = \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle}

\partial_U R = \frac{1}{\langle I \rangle} = \frac{\langle R \rangle}{\langle U \rangle} et \partial_I R = - \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle^2} = - \frac{\langle R \rangle}{\langle I \rangle}

Il vient

\frac{V_R}{\langle R \rangle^2} = \frac{V_U}{\langle U \rangle^2} + \frac{V_I}{\langle I \rangle^2}

Dans ce cas simple, l'erreur relative sur R correspond à la moyenne géométrique (La moyenne géométrique d'une série statistique quantitative discrète positive non nulle est définie telle que son logarithme est la moyenne arithmétique des logarithmes des valeurs discrètes positives non nulles de la...) des erreurs relatives sur U et I.

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un cerain nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de grandeurs mesurables :

  • P : pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) du gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume...)
  • V : volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) occupé par le gaz
  • n : quantité (La quantité est un terme générique de la métrologie (compte, montant) ; un scalaire, vecteur, nombre d’objets ou d’une autre manière de dénommer la valeur d’une collection ou un groupe de choses.) de gaz en moles (1 mole = 6,022·1023 molécules)
  • R : constante des gaz parfaits = 8,314 J·K-1·mol-1
  • T : température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de...) absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à...) du gaz, en kelvin (Le kelvin (symbole K, du nom de Lord Kelvin) est l'unité SI de température thermodynamique. Par convention, les noms d'unité sont des noms communs et s'écrivent en...)

La pression en fonction de n, R, T et V s'exprime par

P =\frac{n \times R \times T}{V}

écrivons sa différentielle :

dP =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV

Si l'on " remplace " des variations élémentaires de variables dx par les erreurs sur les variables δx, on obtient :

\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n  \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V

qui donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Autres exemples simples :

  • le calcul de la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière...) d'un rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des angles droits.).
S = Ll et S + dS = (L + dL)(l + dl) = Ll + Ldl + ldL + dldL
peut s'écrire
dS = ((L + dL)(l + dl) − Ll) = Ldl + ldL + dLdl
que l'on approxime par
dS = Ldl + ldL
  • le calcul d'un volume V = x·y·z
V(x + dx,y + dy,z + dz) = (x + dx)(y + dy)(z + dz) = xyz + dxyz + xdyz + xydz + xdydz + ydxdz + zdxdy + dxdydz
peut s'écrire
dV = yzdx + zxdy + xydz + dxdydz
que l'on approxime par dV = yzdx + zxdy + xydz
noter que
dV = yz dx +zx dy +  xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz
rappel: \frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy
  • et plus généralement pour le calcul de la variation d'une fonction ƒ(x,y,z).
si \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x} est la dérivée partielle par rapport à x
d f(x,y,z)  = \frac{\partial  f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial  f(x,y,z)}{\partial z}dz
Page générée en 0.070 seconde(s) - site hébergé chez Amen
Ce site fait l'objet d'une déclaration à la CNIL sous le numéro de dossier 1037632
Ce site est édité par Techno-Science.net - A propos - Informations légales
Partenaire: HD-Numérique