Pendule cycloïdal
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Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant l'équation :

  • x = a\cdot u - a\cdot \sin(u)
  • y = -a\cdot (1-\cos(u))

avec u variant de 0 à 2π pour avoir une arche (Une arche est un élément naturel ou construit qui adopte une forme géométrique proche de l'arc. L'élément délimite un espace sous lequel il...) complète.

Sur cette courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et...), la perle (Les perles sont de petites billes, généralement de couleur blanche, créées par certains mollusques, principalement les huîtres. Quand un objet irritant passe à l'intérieur de la coquille, l'animal réagit...) exécute, quelles que soient les conditions initiales (pourvu qu'elle reste dans l'arche), une oscillation (Une oscillation est un mouvement ou une fluctuation périodique. Les oscillations sont soit à amplitude constante soit amorties. Elles répondent aux...) sinusoïdale telle que la pulsation satisfasse l'égalité suivante :

  • \omega^2 = \frac{g}{4\cdot a}.

Histoire des sciences (La science, en tant que corpus de connaissances mais également comme manière d'aborder et de comprendre le monde, s'est constituée de façon progressive...)

Christiaan Huygens, mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) du XVIIe siècle, est celui qui démontra cette formule de chute ralentie, alors qu'il ne connaissait pas le principe fondamental de la dynamique (Le mot dynamique est souvent employé désigner ou qualifier ce qui est relatif au mouvement. Il peut être employé comme :) de Newton, mais seulement celui de Torricelli. Le brouillon de sa démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir de propositions initiales, en s'appuyant...) (vers 1651 ?) met en évidence l'opiniâtreté déployée pour vaincre ce problème. Il avait bien sûr remarqué que le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est...) osculateur au fond du vase était de rayon 4a. Il avait également constaté que la développée (En géométrie, la développée d'une courbe plane est le lieu de ses centres de courbure. On peut aussi la décrire comme l'enveloppe de la famille des droites normales à la courbe.) de la cycloïde (La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est une courbe plane transcendante, trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule...) était la cycloïde déduite de la première par la translation \pi \cdot a \cdot \vec{i} + 2\cdot a\cdot \vec{j}.

Huygens est le créateur de la théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) concernant la développée de la développante. Celle-ci est la version géométrique précédant, de 30 ans, le célèbre théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) du calculus (le calcul différentiel (Un différentiel est un système mécanique qui a pour fonction de distribuer une vitesse de rotation de façon adaptative aux besoins d'un ensemble mécanique.) et intégral) que mettront au point (Graphie) Newton et Leibniz : la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une...) de la primitive est la fonction elle-même.

Mais il avait remarqué aussi que le cercle montait trop lentement provoquant l'anharmonicité des grandes amplitudes (pendule pesant). Il fallait donc accentuer la pente. Il savait même qu'il faudrait y + s^2\cdot k = cste (résultat peut-être déjà connu de Torricelli)

Démonstration

Lemme géométrique : y + s^2\cdot k = cste

On calcule l'abscisse curviligne s \, :

ds^2 = dx^2 + dy^2 = 4a^2\cdot \sin^2\left (\frac{u}{2}\right ) ,

d'où s = - 4a\cdot \cos\left (\frac{u}{2}\right ) + cste ;

mais y = -2a\cdot \sin^2\left (\frac{u}{2}\right ) = -2a\cdot (1-\left (\frac{s}{4a}\right )^2) si l'on choisit l'origine au bas de la cycloïde.

Appliquer alors la formule de Torricelli :

\frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2 + m\cdot g\cdot y = cste

Elle se simplifie par m \, (loi de Galilée : tous les corps ont même loi de chute), et elle se réécrit grâce au lemme :

\left (\frac{ds}{dt}\right )^2 + \frac{g}{4a} \cdot s^2 = cste : équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre...) de l'oscillateur harmonique (Les oscillateurs existent dans de nombreux domaines de la physique : mécanique, électricité et électronique, optique. Le modèle de base des oscillateurs est l'oscillateur...).

Pratique

Découper dans du contreplaqué (Le contreplaqué et le lamibois sont la superposition de plaques de bois déroulées, Son épaisseur peut varier selon son utilisation, généralement de 1...) de 8 mm, 4 flasques de demicycloïdes ; les placer deux à deux en regard, dans deux plans parallèles, distants de 10 cm (réglable). Fixer une suspension ( Le fait de suspendre des particules En chimie, la suspension désigne une dispersion de particule. En géomorphologie, la suspension est un mode de transport des...) bifilaire qui s'enroulera sur le bord curviligne des demi-cycloïdes,et y mettre un plomb (Le plomb est un élément chimique de la famille des cristallogènes, de symbole Pb et de numéro atomique 82. Le mot et le symbole viennent du latin plumbum.). Si vous avez pris 4a = 1 m , vous aurez une superbe horloge marquant les secondes à chaque passage de verticale (La verticale est une droite parallèle à la direction de la pesanteur, donnée notamment par le fil à plomb.), même s'il y a un léger amortissement [Remarque: ce n'est pas tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) à fait vrai, car la pseudopulsation, elle, dépend de l'élongation, vraisemblablement comme \omega_0 (1- s_0^2/S0^2)]. Voir aussi puits de potentiel.

L'enregistrement des tops de passage est grandiose de régularité calme : avec un plomb de 2 kg, l'horloge ne va pas faillir avant un long moment.

Ce procédé préconisé pour les horloges à pendule (Le mot pendule (nom masculin) nous vient d'Huygens et du latin pendere. Il s'agit donc à l'origine d'un système oscillant sous l'effet de la pesanteur. Parmi les célèbres pendules, c'est sans doute celui de Foucault qui est le plus connu....) est utilisé pour certaines horloges franc-comtoises, mais, dans la réalité, le feuillard qui soutient le pendule n'est pas sans rigidité : il faudrait donc revoir la théorie ; par ailleurs, le dispositif n'est guère utile depuis qu'avec le réglage d'Airy, les horloges à poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la Terre. Elle est...) oscillent toujours à la même amplitude (Dans cette simple équation d’onde :). Le procédé n'a donc plus guère qu'un intérêt mathématique et historique !

Géométrie (La géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures de l'espace de dimension 3 (géométrie euclidienne) et,...)

Afin de pouvoir comparer pendule simple (Le pendule simple est le modèle de pendule pesant le plus simple : on considère une masse ponctuelle au bout d'une liaison rigide sans masse de longueur l pouvant...) et pendule cycloïdal (Le pendule cycloïdal est le mouvement d'un petit anneau glissant sans frottement sur une cycloïde concave ayant pour base l'axe horizontal Ox et suivant l'équation :) , Greenhill ( ellpitic functions,1892) propose une construction via le cercle générateur (de rayon a) de la cycloïde.

Soit A, le point le plus bas de la cycloïde et le cercle (C) de diamètre (Dans un cercle ou une sphère, le diamètre est un segment de droite passant par le centre et limité par les points du cercle ou de la sphère. Le diamètre est aussi la longueur...) vertical (Le vertical (rare), ou style vertical, est un style d’écriture musicale consistant en accords plaqués.) AE = 2a.

Soit le cercle (C1) de diamètre vertical AH = h , la perle remontant à l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et biogéographique qui explique la répartition de la vie sur terre.) maximale h, niveau zéro (Le chiffre zéro (de l’italien zero, dérivé de l’arabe sifr, d’abord transcrit zefiro en italien) est un symbole marquant une position vide dans l’écriture des...) compté en A. La droite horizontale passant par H coups la cycloïde en deux points symétriques B et B' , représentant l'élongation maximale.

Si , à un moment t, la perle P se trouve à la distance curviligne AP = s , on sait que la tangente PT = s/2.

La droite horizontale passant par P coupe OH en N , (C1) en Q et (C) en R . Démontrer que la vitesse (On distingue :) de Q sur (C1) est constante : angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) (DA,DQ) = nt , ceci quel que soit AH = h : les oscillations sont donc isochrones.

Le même genre de figure tracé pour le pendule simple fait saisir la différence et marque son amplitude par u := am(t) qui n'est plus proportionnelle à t : le pendule simple est an-isochrone.

Symétrie de Corinne

On peut poursuivre l'analogie avec le pendule simple en considérant l'ovale (Dans le sens étymologique, un ovale est une forme d'œuf. En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, le terme « ovale » désigne une courbe plane fermée qui a...) fermé par l'arche de la cycloïde symétrique par rapport à l'axe x'Ox : alors le mouvement est simplement donné en remplaçant t réel par it, ce qui change g en -g (cf symétrie de Corinne) ! ; donc les cos en cosh etc. Les calculs s'ensuivent très aisément. Si l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) E en A vaut mg .4a , la perle arrivera en O en un temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) infini ; et si E > 4mga , il y aura tournoiement. Il est intéressant de comparer les plans de phase (Le mot phase peut avoir plusieurs significations, il employé dans plusieurs domaines et principalement en physique :) du pendule circulaire et du pendule en ovale cycloïdal.

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