Atmosphère isotherme
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L'atmosphère isotherme est un modèle simpliste d'atmosphère dans lequel on considère la température comme constante et égale à T0. Cette hypothèse conduit à une décroissance exponentielle de la pression p(z) avec l'altitude (L'altitude est l'élévation verticale d'un lieu ou d'un objet par rapport à un niveau de base. C'est une des composantes géographique et...), en p_0 e^{-z/H_0}.

En effet, l'équation (En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité....) locale de la statique (Le mot statique peut désigner ou qualifier ce qui est relatif à l'absence de mouvement. Il peut être employé comme :) des fluides donne -\nabla p + \rho \mathbf{g} = \mathbf{0}, soit avec la symétrie du problème, et dans un champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) de pesanteur (Le champ de pesanteur (ou plus couramment pesanteur) est un champ attractif auquel sont soumis tous les corps matériels au voisinage de la Terre : on observe ainsi qu'en un lieu donné...) uniforme g, \frac{dp}{dz} + \rho g = 0.

Or, la loi des gaz (Un gaz est un ensemble d'atomes ou de molécules très faiblement liés et quasi-indépendants. Dans l’état gazeux, la matière n'a pas de forme propre ni de volume propre : un gaz tend à occuper...) parfaits donne \rho = \frac{pM}{RT^0} où M est la masse (Le terme masse est utilisé pour désigner deux grandeurs attachées à un corps : l'une quantifie l'inertie du corps (la masse inerte) et l'autre la contribution du corps à la force de...) molaire de l'air (L'air est le mélange de gaz constituant l'atmosphère de la Terre. Il est inodore et incolore. Du fait de la diminution de la pression de l'air avec l'altitude, il est...) et R la constante des gaz parfaits.

On obtient ainsi l'équation différentielle : \frac{dp}{dz} + \frac{p}{H_0} = 0 avec H_0 = \frac{RT^0}{Mg}, de solution p_0 e^{\frac{-z}{H_0}}.

Il apparaît dont une hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) d'échelle ou distance caractéristique du problème H_0 = \frac{RT^0}{Mg}.

On peut remarquer que cette loi de distribution de la pression (La pression est une notion physique fondamentale. On peut la voir comme une force rapportée à la surface sur laquelle elle s'applique.) suit la loi statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application d'une méthode...) de Boltzmann : avec H_0 = \frac{k_BT^0}{mg}, où kB est la constante de Boltzmann (La constante de Boltzmann k (ou kB) a été introduite par Ludwig Boltzmann lors de sa définition de l'entropie en 1873. Le système étant à l'équilibre macroscopique, mais libre d'évoluer à l'échelle microscopique entre...) et m la masse d'une molécule (Une molécule est un assemblage chimique électriquement neutre d'au moins deux atomes, qui peut exister à l'état libre, et qui représente la plus petite...), l'exponentielle (La fonction exponentielle est l'une des applications les plus importantes en analyse, ou plus généralement en mathématiques et dans ses domaines d'applications. Il existe plusieurs définitions équivalentes :...) fait apparaître le rapport de mgz, l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) potentielle de pesanteur d'une particule, et de kBT, son énergie d'agitation (L’agitation est l'opération qui consiste à mélanger une phase ou plusieurs pour rendre une ou plusieurs de ces caractéristiques...) thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des transferts de chaleur suivant...): à cause du poids (Le poids est la force de pesanteur, d'origine gravitationnelle et inertielle, exercée par la Terre sur un corps massique en raison uniquement du voisinage de la...) , tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) l'air devrait se retrouver au sol ; mais l'agitation thermique, jointe aux lois de Fick donne cette épaisseur caractéristique H0.

L'application numérique (En sciences, particulièrement en physique, l'application numérique est l'obtention de la valeur numérique d'une grandeur physique à partir de celles d'autre grandeurs lorsque l'on connaît une formule analytique reliant ces...) donne une hauteur caractéristique de 8 km. À 24 km pour une température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle est reliée aux sensations de froid...) de 0°C de l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :), il n'y aurait plus que 5% de la pression ! Cela montre les limites de ce modèle ; en réalité, le dioxygène (Le dioxygène est une molécule composée de deux atomes d'oxygène, notée O2, qui est à l'état de gaz aux conditions normales de pression et de...), plus lourd, a une hauteur d'échelle différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de...) de celle du diazote ; l'air n'est pas un gaz parfait ; et surtout, la plupart du temps (Le temps est un concept développé par l'être humain pour appréhender le changement dans le monde.) dans la troposphère (La troposphère est la partie de l'atmosphère terrestre située entre la surface du globe et une altitude d'environ 8 à 15 kilomètres, selon la latitude et la saison. Elle est plus épaisse à l'équateur qu'aux...) l'air se refroidit avec l'altitude.

En revanche, ce modèle prévoit correctement que la pression varie peu sur de faibles hauteurs dans des gaz, qui ont de faibles masses volumiques.

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