Logarithme décimal
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la fonction logarithme décimal

Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x.

Le logarithme décimal est la fonction continue qui transforme un produit en somme et qui vaut 1 en 10.

Le logarithme décimal (Le logarithme décimal ou log10 est le logarithme de base dix. Il est défini en tous les réels strictement positifs x.) est la fonction réciproque (La réciproque est une relation d'implication.) de la fonction f(x)=10x

pour x>0, si y = log10(x) alors x=10y.

Avant 1970, les calculatrices électroniques n'étaient pas encore d'un usage (L’usage est l'action de se servir de quelque chose.) très répandu. Pour effectuer des produits ou des quotients, on utilisait encore des table de logarithmes de base 10 que l'on trouvait dans les appendices de beaucoup de livres, et les calculs étaient effectués à la main (La main est l’organe préhensile effecteur situé à l’extrémité de l’avant-bras et relié à ce dernier par le poignet. C'est un organe destiné...) sur papier (Le papier (du latin papyrus) est une matière fabriquée à partir de fibres cellulosiques végétales et animales. Il se présente sous forme de feuilles minces et est considéré comme un matériau...). Les logarithmes de base 10 ou logarithmes décimaux étaient appelés logarithmes vulgaires.

Les logarithmes vulgaires sont parfois appelés les logarithmes de Briggs. Henry Briggs fut un mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité...) britannique du XVe siècle, auteur des tables de logarithmes décimaux publiées à Londres (Londres (en anglais : London - /?l?nd?n/) est la capitale ainsi que la plus grande ville d'Angleterre et du Royaume-Uni. Fondée il y a plus de 2 000 ans par les Romains, la ville est aujourd'hui devenue un centre culturel,...) en 1624 dans un traité intitulé Arithmetica Logarithmetica.

Mantisse (Le terme mantisse (du latin mantissa = addition) a plusieurs sens en mathématiques. On restera donc très vigilant quant à l'utilisation de ce terme.) et caractéristique

Les logarithmes des puissances entières de 10 se calculent aisément en utilisant la règle de conversion d'un produit en somme :

log(10) = 1, log(100) = log(10 * 10) = log(10) + log(10) = 2, log(1000) = 3, log(10n) = n
log(0,1) = log\left(\frac{1}{10}\right)= - log(10) = -1, log(0,01) = - 2 , log(0,001) = -3

Les propriétés arithmétiques des logarithmes permettent de déduire la valeur de tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement...) pourvu que soient connus les logarithmes de tous les nombres compris entre 1 et 10 (exclu). En effet, tout nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) x peut s'écrire sous la forme a.10na est un nombre compris entre 1 et 10 (exclu). Cette écriture s'appelle la notation scientifique (Un scientifique est une personne qui se consacre à l'étude d'une science ou des sciences et qui se consacre à l'étude d'un domaine avec la rigueur et les méthodes scientifiques.) de x. 10n représente alors l'ordre de grandeur du nombre x. Par exemple

120 = 1,2.102 et 0,00314 = 3,14.10 − 3

Le passage au logarithme décimal va alors mettre en évidence les deux éléments de l'écriture scientifique du nombre

log(120) = log(1,2) + log(102) = log(1,2) + 2
log(0,00314) = log(3,14) + log(10 − 3) = log(3,14) - 3
log(x) = log(a.10^n) = n + log(a)

Puisque la fonction log est croissante, pour tout réel a compris entre 1 et 10 (exclu), log(a) est compris entre 0 et 1. L'entier relatif n est donc la partie entière (En mathématiques, la fonction partie entière est la fonction définie de la manière suivante :) de log(x) et log(a) la partie décimale à ajouter à n pour obtenir log(x).

La partie entière de log(x) est appelée la caractéristique du log.

La partie décimale à rajouter à la partie entière s'appelle la mantisse

On fera attention à l'écriture du logarithme des nombre plus petits que 1

log(0,00314) = -3 + log(3,14) \approx -3 + 0,497
log(0,00314)\approx -2,503

La deuxième écriture, qui semble plus naturelle, ne permet pas de retrouver rapidement la caractéristique (-3) et la mantisse (0,497). On préfère alors utiliser la première écriture que l'on note souvent

\log(0{,}0034) \approx \overline 3{,}497

La lecture du logarithme d'un nombre permet alors aisément de déterminer son ordre de grandeur :

si log(x) = 5,3

Sa caractéristique est 5 donc x est de la forme a.105. Sa mantisse est 0,3 qui est proche de log(2). donc x est proche de 2.105

Usage des logarithmes décimaux

Le développement des calculatrices de poche ont fait perdre aux logarithmes leur principal intérêt de simplification des calculs. Ils restent cependant très présents en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens...) quand il s'agit d'appréhender des quantités pouvant varier de 10 − 10 à 1010. C'est ainsi qu'on les retrouve dans le calcul des pH, des décibels, ...

Calculer avec une table de logarithmes

  • Voir article détaillé : table de logarithmes

L'idée directrice est de remplacer, pour l'utilisateur, les multiplications par des additions, les divisions par des soustractions, les puissances par des produits, les racines nièmes par des divisions par n.

Exemple 1 : En supposant que x = 435,728 et y = 1,6275 comment effectuer, sans calculatrice (Une calculatrice, ou calculette, est une machine conçue pour effectuer des calculs. D'abord mécanique, la machine à calculer est devenue électronique dans les années 1960, avec l'introduction de la première...), le produit xy ?

On calcule log(x)
x = 4,35728.102 donc la caractéristique est 2, la mantisse se lit dans une table de logarithme : 0,6392
log(x) = 2,6392
on calcule log(y) , caractéristique 0, mantisse 0,2115
log(y) = 0,2115

Il suffit de calculer log(xy) = log(x) + log(y) = 2,8507, d'isoler la caractéristique : 2 et la mantisse 0,8507 qui par lecture inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est un élément...) dans la table de log donne 7091.

le produit xy est donc environ 7,091.102 = 709,1

Exemple 2 : En prenant toujours ces deux nombres, on peut tout aussi facilement calculer une valeur approchée de la racine cubique (En mathématiques, la racine cubique d'un nombre réel y est l'unique nombre x qui, élevé à la puissance 3 (c'est-à-dire multiplié par lui-même trois...) de leur quotient

\log \left(\sqrt(lien) \frac{x}{y} \right) = \frac 13 \Big(\log(x) - \log(y) \Big) = \frac{2{,}6392 - 0{,}2115}{3} = \frac{2{,}4277}{3} = 0{,}8092

La caractéristique est donc nulle, la mantisse est 0,8092 qui, par lecture inverse, donne 6445.

\sqrt(lien) \frac{x}{y} est donc environ égal à 6,445

La règle à calcul

  • voir article détaillé : règle à calcul

Le principe de la règle à calcul est analogue à celui précédemment décrit. La précision sera seulement moindre.

Sur la règle à calcul sont placés les logarithmes des nombres de 1 à 10.

Pour effectuer le produit de xy = 436 × 1,63, on effectue, grâce à la règle à calcul le produit 4,36 × 1,63 en ajoutant les longueurs correspondant à log(4,36) et log(1,63), on obtient environ 7,1.

Le produit de xy est donc environ 7,1.102

Les échelles logarithmiques

Elles sont utilisés pour représenter des phénomènes pouvant varier de 10^{-10} à 10^{10}. Elles permettent d'amplifier les variations des valeurs proches de 0 et de rendre moins importantes les variation pour les grands nombres, en mettant en évidence plutôt les variations relatives.

  • L'utilisation des échelles logarithmiques est détaillée dans les articles échelle logarithmique (Une échelle logarithmique est un système de graduation sur une demi-droite [Ox), particulièrement adapté pour rendre compte des ordres de grandeur dans les applications....), repère semi-logarithmique, repère log-log (C'est un repère dans lequel les deux axes sont gradués selon une échelle logarithmique.).

le pH

  • Voir article détaillé : Potentiel hydrogène (L'hydrogène est un élément chimique de symbole H et de numéro atomique 1.)

Le pH d'une solution donne le cologarithme de sa concentration en ions hydrogène : pH = - log([H+]).

Le pH de l'eau (L’eau est un composé chimique ubiquitaire sur la Terre, essentiel pour tous les organismes vivants connus.) pure est de 7, ce qui signifie qu'il y a 10 − 7 moles de H+ dans un litre (Le litre (du grec λίτρα lítra, ancienne mesure de capacité – une livre de douze onces – égale...) d'eau.

Le pH du jus de citron (Le citron est un agrume, fruit du citronnier. Le citronnier (Citrus limon) est un arbuste de 5 à 10 m de haut, à feuilles persistantes.) est de 2,4, ce qui signifie qu'il y a 10 − 2,4 = 4.10 − 2 moles de H+ dans un litre de jus de citron.

On remarque qu'un pH faible correspond à une concentration élevée de H+ donc à un milieu acide (Un acide est un composé chimique généralement défini par ses réactions avec un autre type de composé chimique complémentaire,...).

Les décibels

  • Voir article détaillé : Bel (Nommé en l’honneur de l'inventeur Alexandre Graham Bell, le bel est unité de mesure logarithmique du rapport entre deux puissances, connue pour exprimer la puissance du son. Grandeur sans dimension...)

En acoustique (L’acoustique est une branche de la physique dont l’objet est l’étude des sons et des ondes mécaniques. Elle fait appel aux phénomènes ondulatoires et...), une différence de un décibel ou un dB entre deux puissances signifie que le logarithme du rapport entre ces deux puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) est de 0,1 (un dixième de Bel). Sachant qu'un logarithme de 0,1 correspond à un nombre égal à 1,26, une augmentation de 1 dB correspond à une multiplication (La multiplication est l'une des quatre opérations de l'arithmétique élémentaire avec l'addition, la soustraction et la division .) de la puissance par 1,26. Une multiplication de la puissance sonore par 2 correspond à une augmentation de 3 dB car 100,3 = 2.

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