Formule de Héron - Définition
En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de calculer l'aire d'un triangle quelconque en ne connaissant que les longueurs des trois côtés du triangle :
et
s est le demi-périmètre du triangle, a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle et A est l'aire du triangle.
Démonstration
La formule de Héron peut se déduire de manière calculatoire du théorème d'Al-Kashi en utilisant
puis la formule classique de l'aire du triangle donnée par cet angle et les côtés adjacents :
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On obtient la formule de Héron en substituant
dans la formule ci-dessus.
Mise en œuvre numérique
La formule de Héron présente une instabilité numérique qui se manifeste pour les triangles en épingle, c'est-à-dire dont un côté est de dimension très petite par rapport aux autres.
Une formule permettant de pallier cette instabilité est
-
où les noms des côtés sont choisis de sorte à ce que
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Généralisation
En géométrie sphérique
En trigonométrie sphérique, il existe une formule analogue à la formule de Héron qui permet de déduire l'aire d'un triangle sphérique à partir de ses côtés : elle est donnée par le théorème de l'Huilier.
Pour les quadrilatères
Il existe des formulations analogues pour déterminer l'aire d'un quadrilatère, mais à moins qu'il soit inscriptible dans un cercle, la donnée supplémentaire d'angles ou des diagonales est nécessaire. Voir : formule de Bretschneider et formule Brahmagupta.
Pour les tétraèdres
Le volume d'un tétraèdre est donné en fonction de la longueur de ses arêtes par le déterminant de Cayley-Menger.
