Trigonométrie sphérique - Définition
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Introduction
La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.
Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont plus applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle situé sur une sphère est supérieure à 180 degrés et les segments de droites deviennent des arcs de grands cercles.
Le triangle sphérique
Formules premières
![](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/1200px/t/triangle-spherique.svg_b7e891bd13333c1ddb930fece80f6d4d.png")
Conventions
On considère trois points A, B et C sur une sphère comme représentés par la figure ci-contre, on note a la longueur (sur la surface de la sphère) du côté opposé au sommet A et α, parfois 
, l'angle (toujours sur la surface de la sphère) du triangle en ce sommet, et de façon analogue pour les autres sommets. Les longueurs a, b et c seront en fait considérées comme des angles dans ce qui suit, à savoir les angles sous-tendus au centre de la sphère par la partie de grand cercle correspondante (par exemple, l'angle de 2π est la circonférence de la sphère).
Formule des cosinus et relation duale
L'une des relations les plus importantes de la trigonométrie sphérique, donnée par François Viète en 1593 dans son De Varorium est la formule des cosinus, qui relie la longueur d'un côté à celles de deux autres côtés ainsi qu'à l'angle entre eux :
qu'il ne faut pas confondre avec la relation duale, obtenue en remplaçant dans cette relation tous les grands cercles par leurs points polaires :
La formule des cosinus se démontre de plusieurs façons. L'une d'elle consiste à exprimer de différentes manières le produit scalaire, dans l'espace euclidien ambiant, entre les vecteurs reliant le centre O de la sphère aux points A et B. Une autre est détaillée ci dessous.
Dans le cas particulier où le triangle est rectangle en C, on obtient
,
formule correspondant au théorème de Pythagore pour la trigonométrie sphérique. On remarque que si le triangle est suffisamment petit pour que l'on puisse remplacer les cosinus par leur développement limité au deuxième ordre, on retrouve effectivement le théorème de Pythagore.
La formule des cosinus permet notamment de calculer la distance entre deux points A et B sur la Terre en fonction de leurs latitudes et longitudes. Pour cela, on place C au pôle nord, de sorte que a est le complémentaire de la latitude 
de A, b le complémentaire de celle 
de B, et c la différence de longitude 
. On obtient directement
.
La relation peut également s'écrire sous la forme
Des expressions analogues pour cosα et cosβ on déduit la troisième formule fondamentale de la trigonométrie sphérique (les deux premières étant celles des cosinus et des sinus) :
La relation duale peut quant à elle s'écrire
Formule des sinus
On remarque que d'après la relation duale évoquée précédemment, un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles, ce qui est très différent du cas du triangle euclidien (plan). Il y a une analogie parfaite (de dualité), dans le triangle sphérique, entre longueurs des côtés et angles aux sommets. La formule des sinus illustre cette analogie :
ou encore
ce qui doit se comprendre comme « les trois quantités de gauche sont dans les mêmes proportions que les trois quantités de droite (le rapport entre deux quelconques à gauche est le même que le rapport correspondant à droite) ».
a, b et c désignent les longueurs, A, B et C désignent les sommets, α, β et γ désignent les angles du triangle sphérique.
- 1) On forme deux repères orthonormés directs R et R' de même premier vecteur, et tels que A soit le pôle nord du système de coordonnées sphériques associé au premier repère et B le pôle nord du second.
On note 
et 
avec 
On prend alors
On en déduit
![\overrightarrow j= \overrightarrow k\wedge \overrightarrow i= { 1\over \sin c } [ \overrightarrow{OA}\wedge(\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB})]~.](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/4/40d30f9abae9a03cc5039550584fb4a8_9dc2565619a57e74a67e66c897451561.png){kind=small}
La formule du double produit vectoriel conduit à
De même,
![\overrightarrow{j'}= { 1\over \sin c } [ \overrightarrow{OB}\wedge(\overrightarrow{OA}\wedge \overrightarrow{OB})]= {1\over \sin c } ( \overrightarrow{OA}-\cos c~ \overrightarrow{OB})~.](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/d/da4c55379e8a6b10adb83ca451e240f2_85784e2b2b09d128cd821024b9011e36.png){kind=small}
- 2) Le changement de repère (de R vers R') est une rotation dans l'espace autour de l'axe commun aux deux repères. Comme l'angle entre
et 
est c, on en déduit que la matrice de passage est 
- 3) On donne maintenant les coordonnées de C dans le repère R.
- On remarque que b est la colatitude dans le repère sphérique de pôle nord A associé au repère cartésien, alors que α désigne l'angle (au pôle) entre le vecteur
et le demi-plan vertical (A,O,C), donc la longitude vaut α-(π/2). - On en déduit que C, de coordonnées sphériques
![[1,\alpha-{\pi\over 2},b ]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/e/e4bed32612f244bef318f5188a4a70cf_ce7d8b1ff782d4f6eb295b41f28daeeb.png)
, a pour coordonnées cartésiennes dans le premier repère 
- 4) On donne de même les coordonnées de C dans le second repère R'.
- Cette fois, le pôle nord est le point B, la colatitude est a, et β est l'angle que fait le demi-plan vertical (B,O,C) avec le vecteur
, donc la longitude vaut (π/2)-β. - On en déduit que C, de coordonnées sphériques
![[1,{\pi\over 2}-\beta,a ]](https://static.techno-science.net/illustration/Definitions/autres/6/62f9aa5cadd8ac54f91d664ced51a0da_aefaf35d6cb395768dc2b8b804ab2ec0.png)
, a pour coordonnées cartésiennes dans le second repère 
- 5) La formule de changement de base s'écrit alors :
- On en déduit d'un seul coup la formule des sinus, la troisième formule fondamentale de la trigonométrie sphérique et la formule des cosinus :
Autres formules
Formules des demi-angles et demi-côtés
Soit 
le demi-périmètre du triangle. Alors on a
et pour les formules duales, avec 
:
.
Ces formules qui, comme la relation fondamentale, lient un angle au centre aux trois côtés du triangle sphérique ne contiennent pas de somme. Elles étaient très utilisées pour les calculs pratiques à l'aide de tables de logarithmes.
Formules de Gauss
On a 
et 
ainsi que 
et 
On en déduit la loi des tangentes en trigonométrie sphérique :
Analogies de Napier
Elles s'obtiennent en combinant deux à deux les formules de Gauss :
Aire du triangle sphérique
De façon remarquable, l'aire du triangle sphérique se calcule très simplement à partir de ses trois angles : elle est exactement égale à son « défaut d'euclidianité » (différence entre la somme des angles du triangle et π) multiplié par le carré du rayon R de la sphère. Soit :
Remarque:ε est un angle solide s'exprimant en stéradians (pour 
et 
exprimés en radians). Cette formule se montre de façon élémentaire.
a) Lorsqu'on découpe la sphère en 4 secteurs par deux plans diamétraux, l'aire d'un de ces secteurs ainsi découpé est proportionnelle à l'angle des deux plans.
Elle vaut donc
.b) Les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère selon huit secteurs, et on voit aisément que la somme de leurs aires est celle de la sphère augmentée quatre fois de celle du triangle.
c) Autrement dit, on obtient : 
.
On en déduit alors :
Cette formule, découverte par Thomas Harriot, mais non publiée, fut donnée pour la première fois par Albert Girard vers 1625.
Formule de l'Huilier
Cette formule est analogue à la formule de Héron qui calcule l'aire d'un triangle euclidien en fonction de ses côtés, et elle fait la même chose pour le triangle sphérique :
(on rappelle qu'on a appelé s=(a+b+c)/2 le demi-périmètre).