Trigonométrie sphérique - Définition et Explications

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Introduction

La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la trigonométrie euclidienne mais portant sur les angles et distances repérés sur une sphère.

Les règles habituelles de la trigonométrie euclidienne ne sont plus applicables ; par exemple la somme des angles d'un triangle (En géométrie euclidienne, un triangle est une figure plane, formée par trois points...) situé sur une sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une...) est supérieure à 180 degrés et les segments de droites deviennent des arcs de grands cercles.

Le triangle sphérique

Formules premières

triangle sphérique

Conventions

On considère trois points A, B et C sur une sphère comme représentés par la figure ci-contre, on note a la longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus...) (sur la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a...) de la sphère) du côté opposé ( En mathématique, l'opposé d’un nombre est le nombre tel que, lorsqu’il est à...) au sommet A et α, parfois ^{\hat A}, l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts...) (toujours sur la surface de la sphère) du triangle en ce sommet, et de façon analogue pour les autres sommets. Les longueurs a, b et c seront en fait considérées comme des angles dans ce qui suit, à savoir les angles sous-tendus au centre de la sphère par la partie de grand cercle (En géométrie, un grand cercle est un cercle tracé à la surface d'une sphère qui a le même...) correspondante (par exemple, l'angle de 2π est la circonférence de la sphère).

Formule des cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...) et relation duale

L'une des relations les plus importantes de la trigonométrie sphérique (La trigonométrie sphérique est un ensemble de relations analogues à celles de la...), donnée (Dans les technologies de l'information, une donnée est une description élémentaire,...) par François Viète (François Viète, ou François Viette, en latin Franciscus Vieta, est un...) en 1593 dans son De Varorium est la formule des cosinus, qui relie la longueur d'un côté à celles de deux autres côtés ainsi qu'à l'angle entre eux :

\cos c = \cos a\, \cos b + \sin a\, \sin b\, \cos\gamma~,

qu'il ne faut pas confondre avec la relation duale, obtenue en remplaçant dans cette relation tous les grands cercles par leurs points polaires :

\cos\gamma = -\cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c~.

La formule des cosinus se démontre de plusieurs façons. L'une d'elle consiste à exprimer de différentes manières le produit scalaire (En géométrie vectorielle, le produit scalaire est une opération algébrique...), dans l'espace euclidien (En mathématiques, un espace euclidien est un objet algébrique permettant de...) ambiant, entre les vecteurs reliant le centre O de la sphère aux points A et B. Une autre est détaillée ci dessous.

Dans le cas particulier où le triangle est rectangle (En géométrie, un rectangle est un quadrilatère dont les quatre angles sont des...) en C, on obtient

\cos\, c = \cos\, a \cos\, b,

formule correspondant au théorème de Pythagore (Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui...) pour la trigonométrie (La trigonométrie (du grec τρίγωνος /...) sphérique. On remarque que si le triangle est suffisamment petit pour que l'on puisse remplacer les cosinus par leur développement limité (En physique et en mathématiques, un développement limité d'une fonction f au voisinage de x0,...) au deuxième ordre, on retrouve effectivement le théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une...) de Pythagore (Pythagore (en grec ancien Πυθαγόρας /...).

La formule des cosinus permet notamment de calculer la distance entre deux points A et B sur la Terre (La Terre est la troisième planète du Système solaire par ordre de distance...) en fonction de leurs latitudes et longitudes. Pour cela, on place C au pôle nord (Le pôle Nord géographique terrestre, ou simplement pôle Nord, est le point le plus...), de sorte que a est le complémentaire de la latitude (La latitude est une valeur angulaire, expression du positionnement nord-sud d'un point sur Terre...) \scriptstyle{\phi_A} de A, b le complémentaire de celle \scriptstyle{\phi_B} de B, et c la différence de longitude (La longitude est une valeur angulaire, expression du positionnement est-ouest d'un point sur Terre...) \scriptstyle{\Delta \lambda = \lambda_B - \lambda_A}. On obtient directement

d_{AB}=R c= R \arccos{ \left( \sin \phi_A \sin \phi_B + \cos \phi_A \cos \phi_B \cos \Delta \lambda \right)}.

La relation peut également s'écrire sous la forme

\cos\gamma = \frac{\cos c - \cos a\,\cos b}{\sin a\,\sin b}~.

Des expressions analogues pour cosα et cosβ on déduit la troisième formule fondamentale (En musique, le mot fondamentale peut renvoyer à plusieurs sens.) de la trigonométrie sphérique (les deux premières étant celles des cosinus et des sinus) :

\sin b\cos\alpha+\cos c\sin a\cos\beta=\sin c\cos a~.

La relation duale peut quant à elle s'écrire

\cos c = \frac{\cos\gamma + \cos\alpha\,\cos\beta}{\sin\alpha\,\sin\beta}~.

Formule des sinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour...)

On remarque que d'après la relation duale évoquée précédemment, un triangle sphérique est déterminé par ses trois angles, ce qui est très différent du cas du triangle euclidien (plan). Il y a une analogie parfaite (de dualité), dans le triangle sphérique, entre longueurs des côtés et angles aux sommets. La formule des sinus illustre cette analogie :

\frac{\sin a}{\sin \alpha} = \frac{\sin b}{\sin \beta} = \frac{\sin c}{\sin \gamma}~,

ou encore

\sin a : \sin b : \sin c = \sin\alpha : \sin\beta : \sin\gamma~,

ce qui doit se comprendre comme « les trois quantités de gauche sont dans les mêmes proportions que les trois quantités de droite (le rapport entre deux quelconques à gauche est le même que le rapport correspondant à droite) ».

Autres formules

Formules des demi-angles et demi-côtés

Soit \scriptstyle{ s=\frac1 2 (a+b+c)} le demi-périmètre du triangle. Alors on a

\tan^2\frac{\gamma}{2} = \frac{\sin(s-a)\,\sin(s-b)}{\sin s\,\sin(s-c)}

et pour les formules duales, avec \scriptstyle{ \sigma =\frac1 2(\alpha+\beta+\gamma)} :

tan^2\frac{c}{2} = - \frac{\cos\sigma\,\cos(\sigma-\gamma)}{\cos(\sigma-\alpha)\, \cos(\sigma-\beta)}.

Ces formules qui, comme la relation fondamentale, lient un angle au centre aux trois côtés du triangle sphérique ne contiennent pas de somme. Elles étaient très utilisées pour les calculs pratiques à l'aide de tables de logarithmes.

Formules de Gauss

On a \frac{\cos\frac{a+b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} et \frac{\sin\frac{a+b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\gamma}{2}} ainsi que \frac{\cos\frac{a-b}{2}}{\cos\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}} et \frac{\sin\frac{a-b}{2}}{\sin\frac{c}{2}} = \frac{\sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\gamma}{2}}~.

On en déduit la loi des tangentes (En trigonométrie, la loi des tangentes est une relation entre la longueur de deux côtés d'un...) en trigonométrie sphérique :

\frac{\tan\frac{a-b}2 }{\tan\frac{a+b}2 } = \frac{\tan\frac{\alpha-\beta}2 }{\tan\frac{\alpha+\beta}2}~.

Analogies de Napier

Elles s'obtiennent en combinant deux à deux les formules de Gauss :

  • \tan\frac{c}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a+b}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}
  • \tan\frac{c}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2} = \tan\frac{a-b}{2} \sin\frac{\alpha+\beta}{2}
  • \cot\frac{\gamma}{2} \cos\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{a+b}{2}
  • \cot\frac{\gamma}{2} \sin\frac{a-b}{2} = \tan\frac{\alpha-\beta}{2} \sin\frac{a+b}{2}

Aire (Aires (en espagnol, les airs) est une compagnie aérienne intérieure de Colombie.) du triangle sphérique

De façon remarquable, l'aire du triangle sphérique se calcule très simplement à partir de ses trois angles : elle est exactement égale à son « défaut d'euclidianité » (différence entre la somme des angles du triangle et π) multiplié par le carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses...) du rayon R de la sphère. Soit :

^{S=(\hat A+\hat B+\hat C-\pi)R^2=R^2\varepsilon }

Remarque:ε est un angle solide (En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de...) s'exprimant en stéradians (pour ^{\hat A, \hat B} et ^{\hat C} exprimés en radians). Cette formule se montre de façon élémentaire.

a) Lorsqu'on découpe la sphère en 4 secteurs par deux plans diamétraux, l'aire d'un de ces secteurs ainsi découpé est proportionnelle à l'angle ^{\hat A} des deux plans.

Elle vaut donc

^{2\hat AR^2}.

b) Les trois plans qui définissent un triangle sphérique coupent la sphère selon huit secteurs, et on voit aisément que la somme de leurs aires est celle de la sphère augmentée quatre fois de celle du triangle.

c) Autrement dit, on obtient : ^{2(2\hat AR^2+2\hat BR^2+2\hat CR^2)=4\pi R^2+4S}.

On en déduit alors :

 ^{S=(\hat A+\hat B+\hat C-\pi)R^2}

Cette formule, découverte par Thomas Harriot, mais non publiée, fut donnée pour la première fois par Albert Girard vers 1625.

Formule de l'Huilier (Un huilier est un navire citerne destiné au transport d'huile, le plus souvent d'huile végétale...)

Cette formule est analogue à la formule de Héron (En géométrie euclidienne, la formule de Héron, trouvée par Héron d'Alexandrie, permet de...) qui calcule l'aire d'un triangle euclidien en fonction de ses côtés, et elle fait la même chose pour le triangle sphérique :

\tan\frac{s}{2} \tan\frac{s-a}{2} \tan\frac{s-b}{2} \tan\frac{s-c}{2} = \tan^2\frac{\varepsilon}{4}

(on rappelle qu'on a appelé s=(a+b+c)/2 le demi-périmètre).

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