Bouteille de Klein
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Deux vues de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions.
Deux vues de la bouteille de Klein dans un espace à trois dimensions.

En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un " intérieur " et un " extérieur ". La bouteille de Klein (En mathématiques, la bouteille de Klein est une surface fermée, sans bord et non orientable, c'est-à-dire une surface pour laquelle on ne peut pas définir un...) a été décrite pour la première fois en 1882 par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son activité principale. Ce terme...) allemand Felix Klein. Elle est étroitement liée au ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) et à des plongements du plan projectif réel tels que la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique,...) de Boy.

C'est un des exemples les plus simples de variété abstraite, car c'est une surface qui ne peut être représentée convenablement dans l'espace à trois dimensions

Construction

La bouteille de Klein n'est pas réalisable dans \mathbb R^3, car il faut alors qu'elle se traverse elle-même ; aussi, aucune réalisation que l'on peut voir de la bouteille de Klein n'est exacte. Dans \mathbb R^4, il est par contre possible de la réaliser sans auto-intersection.

Voici un plan de montage dans \mathbb R^3. À partir du carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à...) initial, on colle (Une colle ou la glu est un produit de nature liquide ou gélatineuse servant à lier des pièces entre elles. Ces pièces peuvent être de même nature ou de différents matériaux.) les deux bords rouges l'un contre l'autre, dans le sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine. Par une...) des flèches. La figure obtenue est un cylindre (Un cylindre est une surface dans l'espace définie par une droite (d), appelée génératrice, passant par un point variable décrivant une courbe plane fermée (c),...), dont on veut identifier les deux bords à l'aide des flèches bleues. Pour respecter le sens de ces flèches, il est nécessaire d'opérer une auto-intersection.

image:Klein Bottle Folding 1.svg Image:Klein Bottle Folding 2.svg Image:Klein Bottle Folding 3.svg
Image:Klein Bottle Folding 4.svg Image:Klein Bottle Folding 5.svg Image:Klein Bottle Folding 6.svg

Construction alternative

La bouteille de Klein peut aussi être obtenue par recollement de deux anneaux de Möbius le long de leurs bords. On peut imaginer le plan de montage comme suit :

image:Klein Bottle Folding 1.svg

On se donne deux exemplaires d'un tel carré, et on obtient deux exemplaires de ruban de Möbius en faisant cette fois d'abord l'identification suivant les flèches bleues. Chacun de ces rubans a alors un seul bord : les côtés verticaux rouges qui ont été connectés suite à l'identification précédente ; recoller les deux rubans suivant leurs bords peut alors être considéré comme équivalent à recoller le bord droit du second carré, au bord gauche du premier, et vice-versa. On voit aisément qu'on retrouve alors bien le cylindre :

image:Klein Bottle Folding 2.svg

mais avec l'identification des bords bleus déjà effectuée, c'est-à-dire la bouteille de Klein.

Il est peut-être plus facile de voir qu'une bouteille de Klein coupée en deux dans le sens de la hauteur (La hauteur a plusieurs significations suivant le domaine abordé.) fournit bien deux rubans de Möbius.

Visualisation

Réalisation de l'immersion de la bouteille de Klein, en verre
Réalisation de l'immersion de la bouteille de Klein, en verre (Le verre, dans le langage courant, désigne un matériau ou un alliage dur, fragile (cassant) et transparent au rayonnement visible. Le plus souvent, le verre est constitué d’oxyde de silicium (silice SiO2) et de...)

Il est possible de comprendre la structure de la bouteille de Klein à partir de la représentation fournie dans cet article, et au prix d'un effort mental moins important que ce que l'on pourrait croire.

Imaginons un individu (Le Wiktionnaire est un projet de dictionnaire libre et gratuit similaire à Wikipédia (tous deux sont soutenus par la fondation Wikimedia).) vivant dans un monde (Le mot monde peut désigner :) plat, à 2 dimensions. On essaye alors d'expliquer à l'individu ce qu'est un nœud. Pour cela, on lui dessine un nœud sur le plan : il ne voit qu'une courbe (En géométrie, le mot courbe, ou ligne courbe désigne certains sous-ensembles du plan, de l'espace usuels. Par exemple, les droites, les segments, les lignes polygonales et les cercles sont des courbes.) qui s'auto-intersecte. On lui explique alors que ce ne sont pas des points d'intersections qu'il voit, mais que la courbe passe " dessus " et " dessous ". Notre individu est interloqué : vivant dans un monde plat, il ne comprend pas ce qu'est le dessus ni ce qu'est le dessous. Il lui manque une dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une pièce de...) (le haut et le bas) pour pouvoir visualiser le nœud.

Nous rencontrons le même problème lorsque nous essayons de visualiser la bouteille de Klein, puisque nous voyons une surface qui s'auto-intersecte. Néanmoins, si nous raisonnons avec une quatrième dimension (Dans le sens commun, la notion de dimension renvoie à la taille ; les dimensions d'une pièce sont sa longueur, sa largeur et sa profondeur/son épaisseur, ou bien son diamètre si c'est une...), il suffit d'imaginer qu'à cet endroit, la bouteille passe " dessus " et " dessous " au sens de cette quatrième dimension, et donc ne s'auto-intersecte pas.

On peut en quelque sorte considérer que la bouteille de Klein est une surface qui fait un " nœud ". En tant que surface (objet à 2 dimensions), il lui faut 4 dimensions pour faire un nœud, de même que pour une courbe (objet à une dimension) il faut 3 dimensions pour faire un nœud.

Musée du quai Branly

Dans le musée du quai Branly, l'image de la bouteille de Klein est explicitement citée dans un panneau pour expliquer la vision de la sexualité dans les civilisations dites primitives. L'homme (Un homme est un individu de sexe masculin adulte de l'espèce appelée Homme moderne (Homo sapiens) ou plus simplement « Homme ». Par distinction,...) parfait est perçu comme un individu dont les parties reproductives se confondent avec l'intérieur de la bouche (La bouche (encore dénommée cavité buccale ou cavité orale) est l'ouverture par laquelle la nourriture d'un animal entre dans son corps. Le mot gueule...) si bien que cet homme n'a ni intérieur ni extérieur. Pour appuyer le discours, le visiteur peut remarquer la présence de la bouteille de Klein produite en verre comme ci-dessus au milieu de statuettes primitives.

Propriétés

  • La bouteille de Klein est la somme connexe de deux espaces projectifs réels.
  • En la coupant en deux par rapport à un plan de symétrie, on obtient deux fois un ruban de Möbius.
  • Sa caractéristique d'Euler-Poincaré est nulle.
  • Ses nombres de Betti non nuls sont b0 = 1 et b1 = 1.
  • Son nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) chromatique est 6.
  • Sa constante de Powershmit-Gradski vaut \left ( 2.2 \times \ln {2.2} \right )^{2.2}.

Anecdote

Le nom de la surface, " bouteille de Klein ", provient en fait d'une erreur de traduction de l'expression allemande Kleinsche Fläche (" surface de Klein "). Il y a eu en effet une confusion entre Fläche (" surface ") et Flasche (" bouteille "). Cependant, le terme fautif s'est imposé, y compris en allemand, où l'on utilise maintenant le terme Kleinsche Flasche (" bouteille de Klein "). Il faut dire que l'immersion de la surface de Klein dans \mathbb R^3 ressemble un peu à une bouteille !

La bouteille de Klein fait l'objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être désigné par une...) d'un chapitre (XII) dans "la potière jalouse" de Claude Lévi-Strauss (édition Plon 1985): interprétations psychanalitiques et champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) sémantique des orifices corporels

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