Connexité simple
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En topologie, la notion de simple connexité raffine celle de connexité : là où un espace connexe est simplement " d'un seul tenant ", un espace simplement connexe est de plus sans " trou " ni " poignée ".

On formalise cela en disant que tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) lacet tracé dans un espace simplement connexe doit pouvoir être réduit continûment (c'est-à-dire par homotopie) à un point (Graphie).

Définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.)

Si X \,\! est un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la connexité. Ces concepts apparaissent dans presque...) connexe par arcs, on dit qu'il est simplement connexe si tout lacet \gamma \,\! tracé sur X \,\! est homotope à un point.

Intuitivement, on peut tirer sur le lacet pour le rétrécir jusqu'à ce qu'il ne forme plus qu'un point, il n'y a pas d'obstacle (c'est-à-dire de trou).

On parle aussi de parties simplement connexes ; une partie d'un espace topologique est dite simplement connexe si, munie de la topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement...) induite, elle constitue un espace topologique simplement connexe.

Formulations équivalentes :

  • On note S^1 = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|=1 \right\} \,\! le cercle (Un cercle est une courbe plane fermée constituée des points situés à égale distance d'un point nommé centre. La valeur de cette distance est appelée rayon du cercle. Celui-ci étant infiniment variable, il...) unité et D = \left\{ z \in \mathbb{C} \, | \, |z|\leq 1 \right\} \,\! le disque (Le mot disque est employé, aussi bien en géométrie que dans la vie courante, pour désigner une forme ronde et régulière, à l'image d'un palet — discus en latin.) unité. Un espace topologique X \,\! connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si toute fonction continue f \, : \, S^1 \rightarrow X \,\! peut être prolongée en une fonction continue F \, : \, D \rightarrow X \,\!.
Autrement dit tout plongement d'un cercle dans X \,\! peut être prolongé à un plongement du disque, intuitivement on peut " colorier " l'intérieur de toute boucle tracée dans X \,\!.
  • Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si tout couple p, \, q : [0,1] \rightarrow X \,\! de chemins tracés sur X \,\! sont homotopes.
  • Un espace topologique connexe par arcs est simplement connexe si et seulement si son groupe fondamental est trivial, c'est-à-dire réduit à l'élément neutre.

Etude d'un cas concret

La droite réelle \R \,\!, ainsi que tout intervalle de \R \,\!, est simplement connexe. Soit \gamma \, : \, [0,1] \rightarrow \R \,\! une application continue telle que \gamma \,(0)=\gamma \,(1)\!. Considérons alors la famille de lacets (\gamma_\alpha )_{\alpha \in [0,1]}\, définie par:

\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) = \gamma(0)+\alpha (\gamma (x)- \gamma (0))\;

La fonction (\alpha,x)\to\gamma_\alpha(x) est continue ; si \alpha = 1\; alors le lacet est égal à \gamma \; et si \alpha = 0\; le lacet est réduit à un point. Nous avons donc démontré que le lacet \gamma \; est homotope à un point.

Dans le cas d'un intervalle il suffit de remarquer que:

\forall \alpha \in [0,1] \quad \forall x \in [0,1] \quad \gamma_\alpha (x) \in [\gamma(0),\gamma (x)]\;

Et donc tout lacet de la famille est bien définie dans l'intervalle. Nous avons donc démontré que tout lacet simple de \R \,\! ou d'un de ses intervalles est homotope à un point.

Exemples

Sont simplement connexes :

  • le plan complexe (En mathématiques, le plan complexe (encore appelé plan de Cauchy) désigne un plan dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.) \mathbb{C} \,\! et plus généralement tout espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au concept de vecteur,...) normé ;
  • le disque D \,\! ;
  • toute partie convexe (En géométrie, un objet est convexe si pour toute paire de points { A , B } de cet objet, le segment [AB] qui les joint est entièrement contenu dans l'objet. Par exemple, un cube plein, un disque ou une boule sont...) ou étoilée d'un espace vectoriel normé ;
  • la sphère (En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, une sphère est une surface constituée de tous les points...) S^2 = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \, | \, x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} \,\! ;
  • une assiette, un verre (Le verre, dans le langage courant, désigne un matériau ou un alliage dur, fragile (cassant) et transparent au rayonnement visible. Le plus souvent, le verre est constitué...), une fourchette.

Ne sont pas simplement connexes :

  • \R^* \,\! et plus généralement tout espace non-connexe ou non-connexe par arcs ;
  • l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui...) \mathbb{C}^* \,\! des nombres complexes non-nuls ;
  • le cercle S^1 \,\! ;
  • le tore (Le terme tore a essentiellement deux acceptions distinctes, suivant les usages :) T^2 \,\! (ou " donut ") ;
  • le ruban de Möbius (Le ruban de Möbius est une curiosité topologique très facile à confectionner, comme le montre le schéma ci-dessous.) et la bouteille de Klein ;
  • une tasse, une passoire, un fouet de cuisine (La cuisine est l'ensemble des techniques de préparation des aliments en vue de leur consommation par les êtres humains (voir cuisinerie). La cuisine est...).

Propriétés

  • Théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit...) : Tout revêtement d'un espace simplement connexe est un revêtement trivial.
  • Théorème : Tout revêtement simplement connexe d'un espace est un revêtement universel.
  • Propriété de relèvement (Le relèvement est la détermination de l'angle que fait, dans le plan horizontal, la ligne d'un observateur vers un objet avec celle d'une direction de référence fixe. En...) des homotopies. Toute application f continue d'un espace simplement connexe X dans la base B d'un revêtement \pi : Y\to B, se relève, c'est-à-dire qu'il existe une application continue g : X\to Y telle que f=\pi \circ  g.

(à compléter)

Généralisations

Espace localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est localement simplement connexe tout point admet une base de voisinages simplement connexes. Les espaces localement contractiles sont localement simplement connexes.

Espaces semi-localement simplement connexes (par arcs)

Un espace est dit semi-localement simplement connexe (par arcs) si tout point admet un voisinage (La notion de voisinage correspond à une approche axiomatique équivalente à celle de la topologie. La topologie traite plus naturellement les notions globales comme la continuité qui s'entend ici comme la continuité en...) U où tout lacet, contenu dans U, peut être déformée en un point dans X.

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