Loi de Stefan-Boltzmann
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En physique, la loi de Stefan-Boltzmann[1] établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitance[2] énergétique du corps noir) s'exprime par la formule :

\ M = \sigma T^4

σ est la constante de Stefan-Boltzmann (La constante de Stefan-Boltzmann (du nom des physiciens Jo?ef Stefan et Ludwig Boltzmann), notée (la lettre grecque sigma), intervient pour exprimer la...) (aussi appelée constante de Stefan).

Loi de Planck (La loi de Planck définit la distribution de luminance énergétique monochromatique du rayonnement thermique du corps noir en fonction de la température thermodynamique.)

La loi de Stefan se déduit de la loi de Planck, qui permet de déterminer la luminance (En physique, la luminance est l'intensité d'une source de lumière visible dans une direction donnée, divisée par l'aire apparente de cette source dans cette même direction.) énergétique totale :

L = \int_{0}^{\infty} {L_{\lambda} d\lambda}

La luminance dans une direction donnée (Dans les technologies de l'information (TI), une donnée est une description élémentaire, souvent codée, d'une chose, d'une transaction d'affaire, d'un événement, etc.) étant par ailleurs pondérée par le cosinus (En mathématiques, les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour étudier les triangles et modéliser des phénomènes périodiques. Elles peuvent être définies comme rapports de deux...) de l'angle (En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts apparentés.) par rapport à la normale à la surface (Une surface désigne généralement la couche superficielle d'un objet. Le terme a plusieurs acceptions, parfois objet géométrique, parfois frontière physique, et est souvent...) émettrice (loi de Lambert), l'exitance énergétique du corps noir (En physique, un corps noir désigne un objet idéal dont le spectre électromagnétique ne dépend que de sa température. En pratique, un tel objet matériel n'existe pas, mais il représente un cas idéalisé servant de référence pour les...) est ainsi égale à :

\ M = \pi L

Démonstration (En mathématiques, une démonstration permet d'établir une proposition à partir de propositions initiales, ou précédemment démontrées à partir...)

On part de l'expression de la densité (La densité ou densité relative d'un corps est le rapport de sa masse volumique à la masse volumique d'un corps pris comme référence. Le corps de référence est l'eau pure à...) spectrale émise par un corps noir (Loi de Planck). On travaille en terme de pulsation. Si u est l'énergie (Dans le sens commun l'énergie désigne tout ce qui permet d'effectuer un travail, fabriquer de la chaleur, de la lumière, de produire un mouvement.) interne (En France, ce nom désigne un médecin, un pharmacien ou un chirurgien-dentiste, à la fois en activité et en formation à l'hôpital ou en cabinet pendant une durée variable selon le...) par unité de volume (Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.) (u = \frac{ \partial U}{ \partial V}), la densité spectrale est l'énergie des photons (En physique des particules, le photon est la particule élémentaire médiatrice de l'interaction électromagnétique. Autrement dit, lorsque deux particules chargées électriquement interagissent, cette...) de pulsation comprise entre ω et ω + dω :

u_{\omega} = \frac{\partial u}{\partial \omega} = \frac{\hbar}{c^3\pi^2}\frac{\omega^3}{\exp \left(\frac{\hbar\omega}{k_B T} \right)-1}

Note : si on veut travailler en longueur (La longueur d’un objet est la distance entre ses deux extrémités les plus éloignées. Lorsque l’objet est filiforme ou en forme de lacet, sa longueur est celle de l’objet complètement...) d'onde (Une onde est la propagation d'une perturbation produisant sur son passage une variation réversible des propriétés physiques locales. Elle...), on peut écrire que u_{\lambda} = \frac{\partial u}{\partial \lambda} = \frac{\partial u}{\partial \omega} \frac{\partial \omega}{\partial \lambda}.
En effet, \omega = \frac{2\pi c}{\lambda} donc d\omega = -2\pi c\frac{d\lambda}{\lambda^2} et u_{\lambda} = -\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}
Dans la suite de l'article, on ne travaillera que en pulsation, sachant que tous les calculs peuvent être effectués en utilisant \lambda = 2\pi\frac{c}{\omega}


On cherche maintenant à exprimer la puissance (Le mot puissance est employé dans plusieurs domaines avec une signification particulière :) surfacique totale (pour toutes les pulsations) émise par un Corps noir. On montre que si \varphi_e est la puissance émise par une unité de surface d'un corps noir, on a \frac{d\varphi_e}{d \omega} = \frac{c}{4}u_{\omega}. La puissance totale étant obtenue en sommant toutes ces puissances pour chaque pulsation, on cherche à calculer \int_{0}^{\infty} \frac{\hbar}{4\pi^2c^2}\frac{\omega^3}{e^{\frac{\hbar\omega}{k_B T}}-1}\, d\omega En effectuant le changement de variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une formule, un prédicat ou un algorithme. En...) x = \frac{\hbar\omega}{k_B T}, on obtient

P_{Surfacique} = \frac{(k_B T)^4}{4\pi^2c^2\hbar^3} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^x-1} \, dx = \sigma T^4


avec \sigma = \frac{k_B^4}{4\pi^2c^2\hbar^3}\frac{\pi^4}{15} = \frac{\pi^2 k_B^4}{60c^2\hbar^3} = 5.67.10^{-8} SI

Histoire

La loi de Stefan-Boltzmann (En physique, la loi de Stefan-Boltzmann[1] établit que la puissance totale rayonnée par unité de surface dans le demi-espace libre du corps noir (exitance[2] énergétique du corps noir) s'exprime par...) a été découverte expérimentalement par Jo?ef Stefan (1835-1893) en 1879, et ses fondations (Les fondations d'un ouvrage assurent la transmission et la répartition des charges (poids propre et surcharges climatiques et d'utilisation) de cet ouvrage...) théoriques ont été posées dans le cadre de la thermodynamique (On peut définir la thermodynamique de deux façons simples : la science de la chaleur et des machines thermiques ou la science des grands systèmes en équilibre. La première définition est aussi la première dans...) par Ludwig Boltzmann (1844-1906), en 1884.

Cette loi est la seule loi physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un sens général et...) qui porte le nom d'un physicien (Un physicien est un scientifique qui étudie le champ de la physique, c'est-à-dire la science analysant les constituants fondamentaux de l'univers et les forces...) slovène.

Stefan publia cette loi le 20 mars dans l'article (allemand) Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Sur les relations entre radiation thermique (La thermique est la science qui traite de la production d'énergie, de l'utilisation de l'énergie pour la production de chaleur ou de froid, et des...) et température (La température est une grandeur physique mesurée à l'aide d'un thermomètre et étudiée en thermométrie. Dans la vie courante, elle...)) dans le Bulletins from the sessions de l'Académie des sciences (Une académie des sciences est une société savante dont le rôle est de promouvoir la recherche scientifique en réunissant certains des chercheurs les plus éminents, en tenant des séances au cours desquelles des travaux sont...) de Vienne.

Température du Soleil (Le Soleil (Sol en latin, Helios ou Ήλιος en grec) est l'étoile centrale du système solaire. Dans la classification astronomique, c'est une étoile de type...)

Grâce à cette loi, Stefan détermina également la température de la surface du Soleil. Il apprend, des données de Charles Soret (1854–1904), que le flux (Le mot flux (du latin fluxus, écoulement) désigne en général un ensemble d'éléments (informations / données, énergie, matière, ...) évoluant dans un sens commun. Plus...) énergétique du Soleil est 29 fois plus grand que celui d'une lamelle de métal (Un métal est un élément chimique qui peut perdre des électrons pour former des cations et former des liaisons métalliques ainsi que des liaisons ioniques dans le...) chauffée. Soret avait placé une lamelle circulaire devant son appareil de mesure, à une distance telle qu'elle apparaissait sous le même angle que le Soleil. Il avait estimé la température de la lamelle entre 1900 °C et 2000 °C.

Stefan suppose que le tiers du flux énergétique du Soleil est absorbé par l'atmosphère (Le mot atmosphère peut avoir plusieurs significations :) terrestre[3], ainsi il corrige ce rapport du facteur 3/2 : 29 × 3/2 = 43,5. Stefan retient la valeur moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous identiques sans...) des mesures de température de 1950°C, ce qui correspond à une température absolue (L'absolue est un extrait obtenu à partir d’une concrète ou d’un résinoïde par extraction à l’éthanol à température ambiante ou plus...) de 2223 K.

L'application de sa loi conduit à une température du Soleil égale à 43,50,25=2,568 fois la température de la lamelle ; ainsi Stefan obtient une valeur de 5709 K (la valeur est actuellement de 5780 K). Ce fut la première estimation sérieuse de la température du Soleil : les valeurs précédemment avancées variaient entre 1800 °C à 13 000 000 °C.

Rayon des étoiles

Avec la loi de Stefan-Boltzmann, les astronomes peuvent aisément calculer les rayons des étoiles: En effet, la luminosité (La luminosité désigne la caractéristique de ce qui émet ou réfléchit la lumière.) L d'une étoile (Une étoile est un objet céleste émettant de la lumière de façon autonome, semblable à une énorme boule de plasma comme le Soleil, qui est l'étoile la plus proche de la Terre.) s'écrit:

L = 4πσR2T4

où, L est la luminosité, σ est la constante de Stefan-Boltzmann (ou constante de Stefan), R le rayon de l'étoile, et T sa température. La loi est également respectée dans la thermodynamique des trous noirs pour la radiation de Hawking.

Notes

  1. ou de Stefan.
  2. Appellation recommandée par la Commission internationale de l'éclairage (anciennement émittance énergétique).
  3. La mesure précise de l'absorption ( En optique, l'absorption se réfère au processus par lequel l'énergie d'un photon est prise par une autre entité, par exemple, un atome qui fait une transition entre deux niveaux d'énergie électronique. Le photon est détruit lors de ce...) atmosphérique ne fut pas réalisée avant 1888 et 1904.
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