Ensemble transitif - Définition

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Définition

En théorie axiomatique des ensembles, un ensemble X est dit transitif

si et seulement si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X

ou encore

si et seulement si tout élément x de X est un sous-ensemble de X ; en langage symbolique :

∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X)

On parle également de classe transitive, avec la même définition : tout ensemble élément de la classe est également sous-ensemble de celle-ci.

Exemples

Les ordinaux de John von Neumann sont en particulier des ensembles transitifs^[1] :

$0 = \empty$ , $1 = \left\{0\right\}$ , $2 = \left\{0, 1\right\}$ , $3 = \left\{0, 1, 2\right\}$ , $4 = \left\{0, 1, 2, 3\right\}$ , $\cdots$ , $\ {n+1} = n\cup\left\{n\right\}$ , etc.

Par exemple, pour l’ordinal $\ 4$ on a $2 \in 4$ et $2 \subset 4$ .

En effet $2 \in \left\{0, 1, 2, 3\right\}$ et $\left\{0, 1\right\} \subset \left\{0, 1, 2, 3\right\}$ .

La classe de tous les ordinaux est une classe transitive : les éléments d'un ordinal sont des ordinaux.

Le couple (0,1), défini par { {∅}, {∅,{∅}} }, est un ensemble qui n'est pas transitif : {∅} ∈ (0,1) et ∅ ∉ (0,1).

En théorie des ensembles (Z, ZF, ZFC...), pour tout ensemble X, il existe un unique ensemble transitif Y contenant X et contenu dans tout sous-ensemble transitif contenant X. On l'appelle clôture transitive de X. La clôture transitive est définie par induction sur les entiers naturels, en prenant la réunion des éléments de X, puis la réunion des ensembles obtenus etc. (on note ∪A la réunion des éléments de A) :

Y₀=X ; Y_n+1=∪Y_n ; Y = ∪_{n ∈ N}Y_n

On montre que Y est bien transitif : si x ∈ Y, alors pour un certain entier n, x ∈ Y_n, et donc, par construction de Y_n+1, x ⊂ Y_n+1.

On montre par récurrence sur l'entier n que tout ensemble transitif contenant X contient Y_n.

On appelle P(A) l'ensemble des parties de A, c'est-à-dire tous les sous-ensembles de A. On définit par induction sur les entiers naturels (N désigne l'ensemble des entiers naturels) :

V₀=∅ ; V_n+1=P(V_n)

et on pose V_ω=∪_{n ∈ N} V_n.

Les V_n pour n entier naturel, et V_ω sont des ensembles transitifs. On peut généraliser cette construction par induction sur la classe de tous les ordinaux pour obtenir une classe transitive V. Dans un modèle de ZFC, on montre (voir la référence indiquée) que V_ω définit un ensemble qui, muni de la même relation d'appartenance, est modèle de tous les axiomes de ZFC sauf l'axiome de l'infini. Celui-ci est donc indépendant des autres axiomes. De façon analogue, la classe V définit, dans un modèle de ZFC sans axiome de fondation, un modèle de ZFC avec axiome de fondation. Sans entrer dans le détail de ces preuves (et de la définition de V), on comprend bien que pour construire un modèle de la théorie des ensembles comme une sous-classe d'un autre modèle, en conservant la même relation d'appartenance, il faut que cette sous-classe soit transitive.