Loi binomiale
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En mathématiques, une loi binomiale de paramètres n et p correspond au modèle suivant :

On renouvelle n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p (expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement dénommées respectivement " succès " et " échec ", la probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet...) d'un succès étant p, celle d'un échec étant q = 1 − p). On compte alors le nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) de succès obtenus à l'issue des n épreuves et on appelle X la variable aléatoire (Une variable aléatoire est une fonction définie sur l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, telle qu'il soit possible de déterminer la...) correspondant à ce nombre de succès.

L'univers (L'Univers est l'ensemble de tout ce qui existe et les lois qui le régissent.) X(\Omega )~ désigne l'ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise...) des entiers naturels de 0 à n.

La variable (En mathématiques et en logique, une variable est représentée par un symbole. Elle est utilisée pour marquer un rôle dans une...) aléatoire suit une loi de probabilité définie par :

p(k) = P(X = k)= {n \choose k} \, p^k q^{n-k}

En France, le premier terme du membre de droite est noté \mathrm{C}_{n}^{k}. Cette notation n'est pas reconnue internationalement.

Les symboles {n\choose k} et \mathrm{C}_{n}^{k} correspondent à un nombre de combinaisons et se calculent à partir de la fonction factorielle :

{n\choose k}=\mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}

Cette loi de probabilité s'appelle la loi binomiale de paramètre (Un paramètre est au sens large un élément d'information à prendre en compte pour prendre une décision ou pour effectuer un calcul.) (n ; p) et se note B(n ; p).

Calcul de p(k)

Une épreuve de Bernoulli (En probabilité, une épreuve de Bernoulli de paramètre p (réel compris entre 0 et 1) est une expérience aléatoire (c'est-à-dire soumise au hasard) comportant deux issues :) conduit à la création d'un univers Ω = {S ; E}.

n épreuves de Bernoulli indépendantes conduisent à la création d'un univers Ωn constitué de n-uplets d'éléments de Ω, sur lequel peut se définir une probabilité produit. La probabilité de l'éventualité (S, S, ..., S, E, E, ..., E) avec k succès et n - k échecs a donc pour valeur pkqn-k.

Plus généralement, tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) n-uplet formé de k succès et de n-k échecs aura pour probabilité pkqn-k quel que soit l'ordre d'apparition des S et des E.

L'évènement " X = k " est formé de tous les n-uplets comportant k succès et n - k échecs. La combinatoire (En mathématiques, la combinatoire, appelée aussi analyse combinatoire, étudie les configurations de collections finies d'objets ou les combinaisons d'ensembles...) permet de déterminer le nombre de n-uplets de ce type : il y en a autant que de parties à k éléments d'un ensemble à n éléments ; or chaque partie correspond à une façon de placer les k succès parmi les n places du n-uplet (En mathématiques, si n est un entier naturel non nul alors un n-uplet est une collection de n objets tel qu'il soit possible de dire exactement celui qui est le...). Il y a donc {n \choose k} n-uplets, chacun ayant une probabilité égale à pkqn-k.

Donc P(X = k) = {n \choose k} \, p^k q^{n-k}.

Espérance, variance ( En statistique et en probabilité, variance En thermodynamique, variance ), écart type (En mathématiques, l'écart type est une quantité réelle positive, éventuellement infinie, utilisée dans le domaine des probabilités pour caractériser la répartition d'une variable aléatoire autour de sa moyenne. En particulier,...)

X est la somme de n variables aléatoires indépendantes suivant toutes la (même) loi de Bernoulli (En mathématiques, la distribution de Bernoulli ou loi de Bernoulli, du nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli, est une distribution discrète de probabilité, qui prend la valeur 1 avec la...) de paramètre p, prenant la valeur 1 en cas de succès (probabilité p) et 0 en cas d'échec (probabilité (1-p)) ; ces variables aléatoires ont pour espérance p et pour variance p(1-p).

  • E(X) est donc la somme des espérances, soit np
  • V(X) est la somme des variances, soit np(1-p)
  • \sigma_{X} = \sqrt{np(1-p)}

Convergence (Le terme de convergence est utilisé dans de nombreux domaines :)

Pour de grandes valeurs de n, le calcul de {n \choose k} \, p^k q^{n-k} devient vite pratiquement impossible, sauf si l'on cherche à calculer le logarithme (En mathématiques, une fonction logarithme est une fonction définie sur à valeurs dans , continue et transformant un produit en somme. Le logarithme de base a où a est un réel strictement...) de cette expression au lieu de l'expression elle-même (et à condition d'utiliser l'approximation (Une approximation est une représentation grossière c'est-à-dire manquant de précision et d'exactitude, de quelque chose, mais encore assez...) des factorielles par la formule de Stirling). On distingue deux cas :

  • Lorsque n tend vers l'infini (Le mot « infini » (-e, -s ; du latin finitus, « limité »), est un adjectif servant à qualifier quelque chose qui n'a pas de limite en nombre ou en taille.) et que p tend vers 0 avec np = a, la loi binomiale converge vers une loi de Poisson (En statistique, la loi de Poisson de paramètre λ, ou loi des événements rares, correspond au modèle suivant:) de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson (Dans la classification classique, les poissons sont des animaux vertébrés aquatiques à branchies, pourvus de nageoires et dont le corps est le plus souvent couvert d'écailles. On les trouve abondamment aussi bien...) dès que n > 30 et np < 5.
  • Lorsque n tend vers l'infini et que p et q sont de même ordre de grandeur, la loi binomiale converge vers une loi normale d'espérance np et de variance npq. En pratique, on remplace une loi binomiale par une loi normale dès que n > 30, np > 5 et nq > 5


Loi des grands nombres (La loi des grands nombres a été formalisée au XVIIe siècle lors de la découverte de nouveaux langages mathématiques.)

La loi binomiale, son espérance et sa variance, ainsi que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev (Soit X une variable aléatoire de moyenne μ et de variance finie σ2 (l'hypothèse de variance finie garantit l'existence de la moyenne).) permettent de démontrer une version simple de la loi des grands nombres.

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