Fonction (mathématiques élémentaires)
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Logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...)
Probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des probabilités est un sujet de grande importance donnant lieu à de...)
Statistique (Une statistique est, au premier abord, un nombre calculé à propos d'un échantillon. D'une façon générale, c'est le résultat de l'application...)

En mathématiques élémentaires (Les mathématiques élémentaires regroupent les mathématiques abordées et abordables dans l'enseignement primaire et secondaire. Une page méta est dédiée...), plus de 90 % des fonctions rencontrées sont des fonctions numériques, mais la notion de fonction ne se limite pas à celle-ci .

  • L'article qui suit présente quelques règles à connaître sur les fonctions
  • L'article fonction numérique (Lorsque nous exprimons qu’une quantité dépend d’une autre quantité nous supposons qu’il existe un moyen d’obtenir cette quantité à partir d’une autre. Et si ces quantités sont représentées par des...) traite des fonctions numériques en mathématiques (Les mathématiques constituent un domaine de connaissances abstraites construites à l'aide de raisonnements logiques sur des concepts tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les...) élémentaires
  • L'article fonction (mathématiques) les présente dans leur généralité.

Les fonctions

Les fonctions sont des outils. Pour être une fonction il faut respecter des règles scrupuleuses. Elles ont de nombreuses propriétés. Nous présentons ici les bases .

Les règles scrupuleuses

  • Avoir un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout », comme...) de départ contenant l'ensemble de définition (En mathématiques, l' ensemble de définition D f  d'une fonction  f  dont l' ensemble de départ est noté  E  et l' ensemble d'arrivée  F ,...) de la fonction et un ensemble d'arrivée.
  • À chaque élément de cet ensemble de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les définitions nominales.) faire correspondre un de ceux de l'ensemble d'arrivée.

En mathématiques élémentaires, la première de ces règles (pourtant primordiale) est souvent oubliée par les élèves car les exemples qui sont proposés se limitent à quelques ensembles de départ et d'arrivée naturels dans le contexte (Le contexte d'un évènement inclut les circonstances et conditions qui l'entourent; le contexte d'un mot, d'une phrase ou d'un texte inclut les mots qui l'entourent. Le concept de contexte issu traditionnellement de...) de travail (ensemble des réels pour les fonctions numériques, ensemble des points du plan pour les fonctions ponctuelles)

Toutefois elle reste importante.

Image, antécédent

Si à un élément a, on fait correspondre un élément b,

  • l'élement b est appelé l'image de a
  • l'élément a est appelé un antécédent de b

Exemple: f(x)= √x-1 Avec: x=0 , 1 , 4 , 9 => f(0)=-1 , f(1)=0 , f(4)=1 , f(9)=2

on dira
1 est l'image de 4 par f
9 est un antécédent de 2 par f

Exemples

Une fonction est donc un outil (Un outil est un objet finalisé utilisé par un être vivant dans le but d'augmenter son efficacité naturelle dans l'action. Cette augmentation se traduit par la...) ayant un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée, faisant correspondre aux éléments du premier des éléments du second.

Exemple 1

Une fonction permet de transformer un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel en un autre par exemple, en lui appliquant une suite d'opérations qui doit rester identique pour chaque nombre.

Dans ce cas l'ensemble de départ est \mathbb{R} , l'ensemble de définition est l'ensemble des réels pour lesquels on peut appliquer la suite d'opérations, et l'ensemble d'arrivée est \mathbb{R}.

Si la suite d'opérations consiste à ajouter élever au carré (Un carré est un polygone régulier à quatre côtés. Cela signifie que ses quatre côtés ont la même longueur et ses quatre angles la même mesure. Un carré est à la fois...), ôter 4 et prendre l'inverse (En mathématiques, l'inverse d'un élément x d'un ensemble muni d'une loi de composition interne · notée multiplicativement, est...), on crée une fonction

  • Ensemble de départ : \mathbb{R}
  • Domaine de définition : tous les réels différents de 2 et -2
  • Ensemble d'arrivée : \mathbb{R}
  • Correspondance : à x, on associe \frac{1}{x^2-4}

l'image de 3 est 1/5 les antécédents de 1/5 sont 3 et -3

Exemple 2

Une fonction permet aussi d'associer des points à d'autres points à partir de considérations géométriques.

Dans ce cas l'ensemble de départ est l'ensemble des points du plan (ou de l'espace), l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des points du plan (ou de l'espace)

Par exemple si A et B sont deux points différents, on peut associer, à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) point (Graphie) M non situé sur (AB) le point N tel que AMBN soit un parallélogramme (Un parallélogramme, en géométrie, est un quadrilatère (convexe) dont les côtés sont parallèles deux à deux ; c'est un trapèze particulier.)

  • Ensemble de départ \mathcal P
  • Ensemble de définition \mathcal P - (AB)
  • Ensemble d'arrivée\mathcal P
  • Correspondance : à M, on associe N tel que AMBN soit un parallélogramme.

Nom

Les fonction souvent utilisées finissent par porter des noms spécifiques (sin, cos...), les autres s'appellent f, g, etc. L'image d'un élément a pour la fonction f est alors noté f(a).

Notation

Pour résumer toutes ces informations, on utilise l'écriture suivante

\begin{matrix}f: & D & \rightarrow A\\ & x & \mapsto y\\\end{matrix} avec y = f(x)D représente l'ensemble de départ et A l'ensemble d'arrivée.

La recherche (La recherche scientifique désigne en premier lieu l’ensemble des actions entreprises en vue de produire et de développer les connaissances scientifiques. Par extension métonymique,...) du domaine de définition, si celui-ci est plus petit que l'ensemble de départ, reste faire.

Parfois, on se contente de l'écriture abusive y = f(x) en oubliant tout le reste. Ce qui peut conduire parfois à des confusions dangereuses si on simplifie trop vite, comme le signalait Gottlob Frege dans Qu’est-ce qu’une fonction??.

  • exemple subtil : la fonction f:x\mapsto y=x^2/x et la fonction g:x\mapsto y=x ne sont pas les mêmes; puisque f est " interdite pour x=0 ".
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