Distribution (analyse mathématique)
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En analyse mathématique, une distribution (également appelée fonction généralisée) est un objet qui généralise la notion de fonction et de mesure. La théorie des distributions étend la notion de dérivée à toutes les fonctions localement intégrables et au-delà, et est utilisée pour formuler des solutions à certaines équations aux dérivées partielles. Elles sont importantes en physique (La physique (du grec φυσις, la nature) est étymologiquement la « science de la nature ». Dans un...) et en ingénierie (L'ingénierie désigne l'ensemble des fonctions allant de la conception et des études à la responsabilité de la construction et au contrôle des équipements d'une installation technique...) où beaucoup de problèmes discontinus conduisent naturellement à des équations différentielles dont les solutions sont des distributions plutôt que des fonctions ordinaires.

La théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative,...) des distributions fut formalisée par le mathématicien (Un mathématicien est au sens restreint un chercheur en mathématiques, par extension toute personne faisant des mathématiques la base de son...) français Laurent Schwartz et lui valut la médaille Fields (La médaille Fields est la plus prestigieuse récompense pour la reconnaissance de travaux en mathématiques, souvent comparée au Prix Nobel. Son but est d'apporter un soutien aux mathématiciens jeunes qui ont...) en 1950. Son introduction utilise des notions d'algèbre linéaire (L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformations linéaires...) et de topologie (La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).) centrées autour (Autour est le nom que la nomenclature aviaire en langue française (mise à jour) donne à 31 espèces d'oiseaux qui, soit appartiennent au genre Accipiter, soit...) de l'idée de dualité.

La distribution de Dirac est un exemple intéressant de distribution car elle n'est pas une fonction au sens (SENS (Strategies for Engineered Negligible Senescence) est un projet scientifique qui a pour but l'extension radicale de l'espérance de vie humaine....) strict du terme, mais peut être représentée de façon informelle par une fonction dégénérée qui serait nulle sur tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) son domaine de définition (Une définition est un discours qui dit ce qu'est une chose ou ce que signifie un nom. D'où la division entre les définitions réelles et les...) sauf en 0 et dont l'intégrale (Une intégrale est le résultat de l'opération mathématique, effectuée sur une fonction, appelé intégration. Une intégrale est donc composée d'un intégrande (la fonction à intégrer) et d'un opérateur que l'on...) vaudrait 1. Un tel objet (De manière générale, le mot objet (du latin objectum, 1361) désigne une entité définie dans un espace à trois dimensions, qui a une fonction précise, et qui peut être...) mathématique est utile en physique ou bien en traitement du signal ( Termes généraux Un signal est un message simplifié et généralement codé. Il existe sous forme d'objets ayant des formes particulières. Les signaux lumineux sont employés depuis...) mais aucune fonction ordinaire n'a ces propriétés.

Idée de base

On évalue habituellement une fonction en calculant sa valeur en un point (Graphie). Toutefois cette méthode fait jouer un rôle considérable aux irrégularités (discontinuités par exemple) de la fonction. L'idée sous-jacente à la théorie des distributions est qu'il existe un meilleur procédé d'évaluation : calculer une moyenne (La moyenne est une mesure statistique caractérisant les éléments d'un ensemble de quantités : elle exprime la grandeur qu'auraient chacun des membres de l'ensemble s'ils étaient tous...) des valeurs de la fonction dans un domaine de plus en plus resserré autour du point d'étude. En envisageant des moyennes pondérées, on est donc conduit à examiner des expressions de la forme

I_f(\varphi)=\int_\R f(x)\varphi(x)\, dx

dans laquelle la fonction à évaluer f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est une fonction localement intégrable et \varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} est une fonction appelée " fonction test ", indéfiniment dérivable et identiquement nulle en dehors d'un ensemble (En théorie des ensembles, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un...) borné.

L'intégrale I_f(\varphi) est un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) réel qui dépend de façon linéaire et continue de \varphi. On voit donc que l'on peut associer à une fonction intégrable f\, une forme linéaire (En algèbre linéaire, les formes linéaires désignent un type particulier d'applications linéaires. L'étude spécifique qu'on leur accorde est motivée par le fait qu'elles jouent un rôle primordial en mathématiques, et en analyse, par...) continue sur l'espace des fonctions test. Deux fonctions localement intégrables f et g qui donnent la même forme linéaire continue sont égales presque partout. Ce qui signifie qu'il revient au même de connaître f ou la forme linéaire d'évaluation des fonctions test associée.

D'une manière plus générale, si μ est une mesure sur les réels et \varphi est une fonction test, alors l'intégrale

I_\mu(\varphi)=\int_\R \varphi(x)\, d\mu(x)

est un nombre réel qui dépend de façon linéaire et continue de \varphi. Les mesures peuvent aussi être associées à des formes linéaires continues sur l'espace des fonctions test. Cette notion de " forme linéaire continue sur l'espace des fonctions test " est par conséquent utilisée comme définition des distributions.

Les distributions peuvent être multipliées par un nombre réel quelconque et additionnées entre elles. L'ensemble des distributions forme ainsi un espace vectoriel (En algèbre linéaire, un espace vectoriel est une structure algébrique permettant en pratique d'effectuer des combinaisons linéaires. Pour une introduction au...) réel. Il n'est pas possible de définir en général le produit de deux distributions en tant que généralisation (La généralisation est un procédé qui consiste à abstraire un ensemble de concepts ou d'objets en négligeant les détails de façon à ce qu'ils puissent...) du produit ponctuel (En géométrie, un point est le plus petit élément constitutif de l'espace de travail.) de deux fonctions, mais les distributions peuvent être multipliées par des fonctions indéfiniment dérivables.

Théorie des distributions

Espace des fonctions test

Soit Ω un espace topologique (En mathématiques, les espaces topologiques permettent de définir dans un contexte très général des concepts comme la convergence, la continuité et la...). L'espace des fonctions test \mathcal{D}(\Omega) est l'ensemble des fonctions à valeurs réelles indéfiniment dérivables de Ω à support compact inclus dans Ω. On munit cet espace vectoriel de la topologie suivante: Un ensemble U \subset \mathcal{D}(\Omega) est ouvert si pour tout K \subset \Omega compact et f \in U dont le support est inclus dans K, il existe ε > 0 et k \ge 0 tels que

\{ g \in \mathcal{D}(\Omega)\;|\; \mathrm{supp}\, g \subset K \mbox{ et pour tout }x \in K,\; |f^{(k)}(x)-g^{(k)}(x)|\le \epsilon  \} \subset U.

Muni de cette topologie, \mathcal{D}(\Omega) est un espace vectoriel topologique non métrisable.

Exemple de fonction test :

Pour \Omega=\mathbb{R} on définit

\varphi : x\longmapsto \left\{\begin{matrix} e^{-\frac{1}{1-x^2}} & \mbox{si }|x|<1\\ 0 & \mbox{sinon} \end{matrix}\right.

La fonction \varphi est C^\infty\, sur \R et son support est l'intervalle [-1,1]\,.

Distributions

Définition

Une distribution est une forme linéaire continue sur \mathcal{D}(\Omega). L'ensemble des distributions est donc le dual topologique de \mathcal{D}(\Omega) on le note donc \mathcal{D}'(\Omega).

Notation

Si T est une distribution et \varphi une fonction test de \mathcal{D}(\Omega) alors on note T(\varphi)=\langle T,\varphi \rangle

Exemple

Dans \mathcal{D}'(\mathbb{R}), l'application qui à \varphi associe \varphi(0) est une distribution. C'est la distribution de Dirac, introduite par Paul Dirac et notée δ. On a par définition \langle\delta,\varphi\rangle=\varphi(0).

Dérivation des distributions

Pour définir la dérivée (La dérivée d'une fonction est le moyen de déterminer combien cette fonction varie quand la quantité dont elle dépend, son argument, change. Plus précisément, une dérivée est une expression (numérique ou algébrique) donnant...) d'une distribution, voyons d'abord le cas d'une fonction différentiable et intégrable f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}. Si \varphi est une fonction test, alors faisant une intégration par parties on peut écrire

\int_\R f'(x) \varphi(x)\, dx = -\int_\R f(x)\varphi'(x)\, dx \qquad\mathrm{soit}\qquad I_{f'}(\varphi)=I_{-f}(\varphi')

Comme la fonction \varphi est nulle en dehors d'un ensemble borné, les problèmes de bords peuvent être ignorés. Si S\, est une distribution, cet exemple suggère que l'on puisse définir sa dérivée S'\, comme la forme linéaire qui à une fonction test \varphi fait correspondre la valeur -S(\varphi'). Cette définition étend la notion ordinaire de dérivée : chaque distribution devient indéfiniment dérivable et l'on peut démontrer les propriétés usuelles des dérivées.

Par exemple la dérivée au sens des distributions de la fonction caractéristique (On rencontre des fonctions caractéristiques dans plusieurs domaines :) de \mathbb{R}^+ est la distribution de Dirac en 0.

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