Théorème de Cox-Jaynes
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Le théorème de Cox-Jaynes (1946), dû dans sa version originale au physicien Richard Cox, est une codification des processus d'apprentissage à partir d'un certain ensemble de postulats. Cette codification se trouve coïncider au terme de ces considérations avec celle - historiquement d'origine toute différente (En mathématiques, la différente est définie en théorie algébrique des nombres pour mesurer l'éventuel défaut de dualité d'une...) - de probabilité (La probabilité (du latin probabilitas) est une évaluation du caractère probable d'un évènement. En mathématiques, l'étude des...).

Elle induit (L'induit est un organe généralement électromagnétique utilisé en électrotechnique chargé de recevoir l'induction de l'inducteur et de la transformer en électricité (générateur) ou en force (moteur).) donc une interprétation " logique " des probabilités indépendante de celle de fréquence (En physique, la fréquence désigne en général la mesure du nombre de fois qu'un phénomène périodique se reproduit par unité de temps. Ainsi lorsqu'on emploie le...). Elle fournit également une base rationnelle au mécanisme d'induction logique (La logique (du grec logikê, dérivé de logos (λόγος), terme inventé par Xénocrate signifiant à la fois raison, langage, et...), et donc de l'apprentissage (L’apprentissage est l'acquisition de savoir-faire, c'est-à-dire le processus d’acquisition de pratiques, de connaissances, compétences, d'attitudes ou de valeurs...) par des machines.

Les résultats de Cox n'avaient touché qu'une audience réduite avant qu'E.T. Jaynes ne redécouvre ce théorème (Un théorème est une proposition qui peut être mathématiquement démontrée, c'est-à-dire une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir...) et n'en défriche une série d'implications pour les méthodes bayésiennes.

Problèmes de validité de la démarche inductive avant Cox

Réserves de Bertrand Russell

Dans le chapitre " La science (La science (latin scientia, « connaissance ») est, d'après le dictionnaire Le Robert, « Ce que l'on sait pour l'avoir appris, ce que l'on tient pour vrai au sens large. L'ensemble de connaissances, d'études...) est-elle superstitieuse ? " de son ouvrage Science et religion, Bertrand Russell énonce le problème - il ose (Les oses (ou monosaccharides) sont les monomères des glucides. Ils ne sont pas hydrolysables. Tout comme les diholosides (ou disaccharides), ils possèdent un pouvoir sucrant, et sont solubles dans...) même le mot de scandale - posé par l'induction :

  • Au nom de quoi généraliser que ce qui a été vérifié dans un nombre (La notion de nombre en linguistique est traitée à l’article « Nombre grammatical ».) limité de cas se vérifiera aussi dans les cas qui n'ont pas été testés ?
  • Au nom de quoi supposer, même sur ce qui a été mesuré, que ce qui a été vrai hier le sera toujours demain ?

Paradoxe (Un paradoxe est une proposition qui contient ou semble contenir une contradiction logique, ou un raisonnement qui, bien que sans faille apparente, aboutit à une absurdité,...) de Hempel

Voir le Paradoxe de Hempel, dit de l'ornithologie en chambre.

Les " desiderata " (axiomes)

Cox cherche à poser les desiderata souhaitables pour un robot (Un robot est un dispositif mécatronique (alliant mécanique, électronique et informatique) accomplissant automatiquement soit des tâches qui sont...) qui raisonnerait selon une logique inductive :

Les degrés de plausibilité sont représentés par des nombres réels

  • Il faut bien en effet pouvoir à tout (Le tout compris comme ensemble de ce qui existe est souvent interprété comme le monde ou l'univers.) moment dire de deux plausibilités laquelle est plus grande que l'autre, ce qui suggère une représentation quantitative, et la forme numérique (Une information numérique (en anglais « digital ») est une information ayant été quantifiée et...) semble commode.
  • Une représentation entière poserait un problème de bruit (Dans son sens courant, le mot de bruit se rapproche de la signification principale du mot son. C'est-à-dire vibration de l'air pouvant donner lieu à la...) discret, aucune plausibilité ne pouvant se glisser entre deux représentées par des entiers successifs.
  • Des rationnels conviendraient certes, mais si tous les réels ne sont pas des rationnels, tous les rationnels sont en revanche bien des réels.

La convention adoptée, arbitrairement, est que des plausibilités plus grandes seront représentées par des nombres plus grands.

Les règles d'inférence ne doivent pas contredire les règles d'inférence communes

En d'autres termes, ce qui nous paraît évident ne doit pas être contredit par le modèle (à la différence de ce qui se passe avec le paradoxe de Condorcet).

Exemple :

  • si A est préférable à B,
  • et B préférable à C,
  • toutes choses égales par ailleurs et en l'absence de B, A doit être préféré à C.

Pour les cinq sections suivantes, toutes les formules sont ici :

Règle de cohérence

Si une conclusion peut être obtenue par plus d'un moyen, alors tous ces moyens doivent bien donner le même résultat.

Cette règle élimine du champ (Un champ correspond à une notion d'espace défini:) d'examen les heuristiques multiples dès lors qu'elles pourraient contenir entre elles des contradictions (comme le font par exemple parfois les critères de Wald et du minimax en théorie (Le mot théorie vient du mot grec theorein, qui signifie « contempler, observer, examiner ». Dans le langage courant, une théorie est une idée ou une connaissance spéculative, souvent basée sur...) des jeux).

Règle d'honnêteté

Le robot doit toujours prendre en compte la totalité de l'information qui lui est fournie. Il ne doit pas ignorer délibérément une partie d'entre elles et fonder ses conclusions sur le reste. En d'autres termes, le robot doit être totalement non idéologique, neutre de point de vue (La vue est le sens qui permet d'observer et d'analyser l'environnement par la réception et l'interprétation des rayonnements lumineux.).

Règle de reproductibilité (La reproductibilité d'une expérience scientifique est une des conditions qui permet d'inclure les observations réalisées durant cette expérience dans le...)

Le robot représente des états de connaissance équivalents par des plausibilités équivalentes. Si deux problèmes sont identiques à un simple étiquetage de propositions près, le robot doit assigner les mêmes plausibilités dans les deux cas.

Cela signifie en particulier que des propositions seront considérées a priori comme de plausibilité équivalente quand elles ne se distinguent que par leur nom - ce qui n'arrive guère que dans des cas très particuliers, comme une pièce ou un dé ayant satisfait à des critères de non-pipage.

Les règles quantitatives (lois de composition interne)

La règle de somme

Sans rentrer dans les équations, l'idée est que lorsque deux plausibilités du même état se composent, la plausibilité composée est nécessairement égale ou supérieure à la plus grande des deux.

La règle de produit

Il s'agit ici du cas inverse : quand deux plausibilités doivent toutes deux être vérifiées pour qu'un état puisse exister, cet état ne peut avoir de plausibilité plus grande que la plus petite des deux précédentes.

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